Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83880 / 19688
↖ ↑ ↗
← N 77.326990°
E 50.383301°		 ← 66.99 m → N 77.326990°
E 50.386047°		 →
↑
67.02 m
↓
↑
67.02 m
↓
N 77.326387°
E 50.383301°		 ← 67 m →
4 490 m²		 N 77.326387°
E 50.386047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639957427978516 y=0.150211334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639957427978516 × 217)
    floor (0.639957427978516 × 131072)
    floor (83880.5)     		tx = 83880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150211334228516 × 217)
    floor (0.150211334228516 × 131072)
    floor (19688.5)     		ty = 19688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83880 / 19688 ti = "17/83880/19688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83880/19688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83880 ÷ 217
    83880 ÷ 131072     		x = 0.63995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19688 ÷ 217
    19688 ÷ 131072     		y = 0.15020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63995361328125 × 2 - 1) × π
    0.2799072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87935449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15020751953125 × 2 - 1) × π
    0.6995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19781097378033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87935449} λ = 0.87935449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19781097378033))-π/2
    2×atan(9.00527911567309)-π/2
    2×1.46020344779951-π/2
    2.92040689559902-1.57079632675     		φ = 1.34961057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87935449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34961057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.326990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83880 KachelY 19688 0.87935449 1.34961057 50.383301 77.326990
    Oben rechts KachelX + 1 83881 KachelY 19688 0.87940242 1.34961057 50.386047 77.326990
    Unten links KachelX 83880 KachelY + 1 19689 0.87935449 1.34960005 50.383301 77.326387
    Unten rechts KachelX + 1 83881 KachelY + 1 19689 0.87940242 1.34960005 50.386047 77.326387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34961057-1.34960005) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dl = 67.0229200000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34961057-1.34960005) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dr = 67.0229200000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87935449-0.87940242) × cos(1.34961057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219386646423867 × 6371000     		do = 66.9923517069253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87935449-0.87940242) × cos(1.34960005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219396910123446 × 6371000     		du = 66.9954858510639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34961057)-sin(1.34960005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219386646423867-0.219396910123446)×R²
    abs(0.87940242-0.87935449)×1.02636995786554e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02636995786554e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02636995786554e-05×40589641000000     		ar = 4490.12805886625m²