Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83879 / 19790
↖ ↑ ↗
← N 77.265381°
E 50.380554°		 ← 67.33 m → N 77.265381°
E 50.383301°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.264776°
E 50.380554°		 ← 67.33 m →
4 534 m²		 N 77.264776°
E 50.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639949798583984 y=0.150989532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639949798583984 × 217)
    floor (0.639949798583984 × 131072)
    floor (83879.5)     		tx = 83879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150989532470703 × 217)
    floor (0.150989532470703 × 131072)
    floor (19790.5)     		ty = 19790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83879 / 19790 ti = "17/83879/19790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83879/19790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83879 ÷ 217
    83879 ÷ 131072     		x = 0.639945983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19790 ÷ 217
    19790 ÷ 131072     		y = 0.150985717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639945983886719 × 2 - 1) × π
    0.279891967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87930655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150985717773438 × 2 - 1) × π
    0.698028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19292141001909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87930655} λ = 0.87930655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19292141001909))-π/2
    2×atan(8.96135470237038)-π/2
    2×1.45966581404553-π/2
    2.91933162809107-1.57079632675     		φ = 1.34853530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87930655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.380554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34853530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.265381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83879 KachelY 19790 0.87930655 1.34853530 50.380554 77.265381
    Oben rechts KachelX + 1 83880 KachelY 19790 0.87935449 1.34853530 50.383301 77.265381
    Unten links KachelX 83879 KachelY + 1 19791 0.87930655 1.34852473 50.380554 77.264776
    Unten rechts KachelX + 1 83880 KachelY + 1 19791 0.87935449 1.34852473 50.383301 77.264776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34853530-1.34852473) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34853530-1.34852473) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87930655-0.87935449) × cos(1.34853530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220435593661722 × 6371000     		do = 67.3267043164265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87930655-0.87935449) × cos(1.34852473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220445903643603 × 6371000     		du = 67.329853250272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34853530)-sin(1.34852473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220435593661722-0.220445903643603)×R²
    abs(0.87935449-0.87930655)×1.03099818812014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03099818812014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03099818812014e-05×40589641000000     		ar = 4533.98526593431m²