Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83877 / 19719
↖ ↑ ↗
← N 77.308296°
E 50.375061°		 ← 67.09 m → N 77.308296°
E 50.377807°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.307693°
E 50.375061°		 ← 67.09 m →
4 501 m²		 N 77.307693°
E 50.377807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639934539794922 y=0.150447845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639934539794922 × 217)
    floor (0.639934539794922 × 131072)
    floor (83877.5)     		tx = 83877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150447845458984 × 217)
    floor (0.150447845458984 × 131072)
    floor (19719.5)     		ty = 19719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83877 / 19719 ti = "17/83877/19719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83877/19719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83877 ÷ 217
    83877 ÷ 131072     		x = 0.639930725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19719 ÷ 217
    19719 ÷ 131072     		y = 0.150444030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639930725097656 × 2 - 1) × π
    0.279861450195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.87921068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150444030761719 × 2 - 1) × π
    0.699111938476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.19632492989211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87921068} λ = 0.87921068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19632492989211))-π/2
    2×atan(8.99190681405593)-π/2
    2×1.46004032048324-π/2
    2.92008064096649-1.57079632675     		φ = 1.34928431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87921068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.375061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34928431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.308296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83877 KachelY 19719 0.87921068 1.34928431 50.375061 77.308296
    Oben rechts KachelX + 1 83878 KachelY 19719 0.87925861 1.34928431 50.377807 77.308296
    Unten links KachelX 83877 KachelY + 1 19720 0.87921068 1.34927378 50.375061 77.307693
    Unten rechts KachelX + 1 83878 KachelY + 1 19720 0.87925861 1.34927378 50.377807 77.307693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34928431-1.34927378) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34928431-1.34927378) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87921068-0.87925861) × cos(1.34928431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219704946394447 × 6371000     		do = 67.0895484320905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87921068-0.87925861) × cos(1.34927378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219715219096111 × 6371000     		du = 67.0926853251243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34928431)-sin(1.34927378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219704946394447-0.219715219096111)×R²
    abs(0.87925861-0.87921068)×1.02727016643156e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02727016643156e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02727016643156e-05×40589641000000     		ar = 4500.91693449217m²