Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83874 / 19718
↖ ↑ ↗
← N 77.308900°
E 50.366822°		 ← 67.09 m → N 77.308900°
E 50.369568°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.308296°
E 50.366822°		 ← 67.09 m →
4 505 m²		 N 77.308296°
E 50.369568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639911651611328 y=0.150440216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639911651611328 × 217)
    floor (0.639911651611328 × 131072)
    floor (83874.5)     		tx = 83874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150440216064453 × 217)
    floor (0.150440216064453 × 131072)
    floor (19718.5)     		ty = 19718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83874 / 19718 ti = "17/83874/19718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83874/19718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83874 ÷ 217
    83874 ÷ 131072     		x = 0.639907836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19718 ÷ 217
    19718 ÷ 131072     		y = 0.150436401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639907836914062 × 2 - 1) × π
    0.279815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87906687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150436401367188 × 2 - 1) × π
    0.699127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19637286679173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87906687} λ = 0.87906687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19637286679173))-π/2
    2×atan(8.99233786852189)-π/2
    2×1.46004558634699-π/2
    2.92009117269399-1.57079632675     		φ = 1.34929485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87906687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.366822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34929485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.308900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83874 KachelY 19718 0.87906687 1.34929485 50.366822 77.308900
    Oben rechts KachelX + 1 83875 KachelY 19718 0.87911480 1.34929485 50.369568 77.308900
    Unten links KachelX 83874 KachelY + 1 19719 0.87906687 1.34928431 50.366822 77.308296
    Unten rechts KachelX + 1 83875 KachelY + 1 19719 0.87911480 1.34928431 50.369568 77.308296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34929485-1.34928431) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34929485-1.34928431) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87906687-0.87911480) × cos(1.34929485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219694663912735 × 6371000     		do = 67.0864085526014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87906687-0.87911480) × cos(1.34928431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219704946394447 × 6371000     		du = 67.0895484320905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34929485)-sin(1.34928431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219694663912735-0.219704946394447)×R²
    abs(0.87911480-0.87906687)×1.02824817121705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02824817121705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02824817121705e-05×40589641000000     		ar = 4504.98056568785m²