Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8387 / 7444
↖ ↑ ↗
← N 79.916702°
W133.928833°		 ← 106.94 m → N 79.916702°
W133.923340°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
N 79.915740°
W133.928833°		 ← 106.95 m →
11 439 m²		 N 79.915740°
W133.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127983093261719 y=0.113594055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127983093261719 × 216)
    floor (0.127983093261719 × 65536)
    floor (8387.5)     		tx = 8387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113594055175781 × 216)
    floor (0.113594055175781 × 65536)
    floor (7444.5)     		ty = 7444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8387 / 7444 ti = "16/8387/7444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8387/7444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8387 ÷ 216
    8387 ÷ 65536     		x = 0.127975463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7444 ÷ 216
    7444 ÷ 65536     		y = 0.11358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.744049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33749910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11358642578125 × 2 - 1) × π
    0.7728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4279080919566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33749910} λ = -2.33749910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4279080919566))-π/2
    2×atan(11.335145179577)-π/2
    2×1.48280294814254-π/2
    2.96560589628508-1.57079632675     		φ = 1.39480957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33749910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.928833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39480957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.916702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8387 KachelY 7444 -2.33749910 1.39480957 -133.928833 79.916702
    Oben rechts KachelX + 1 8388 KachelY 7444 -2.33740323 1.39480957 -133.923340 79.916702
    Unten links KachelX 8387 KachelY + 1 7445 -2.33749910 1.39479278 -133.928833 79.915740
    Unten rechts KachelX + 1 8388 KachelY + 1 7445 -2.33740323 1.39479278 -133.923340 79.915740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39480957-1.39479278) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dl = 106.969090000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39480957-1.39479278) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dr = 106.969090000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33749910--2.33740323) × cos(1.39480957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175079738275709 × 6371000     		do = 106.936562913602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33749910--2.33740323) × cos(1.39479278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175096268917008 × 6371000     		du = 106.946659627137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39480957)-sin(1.39479278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175079738275709-0.175096268917008)×R²
    abs(-2.33740323--2.33749910)×1.65306412988064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65306412988064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65306412988064e-05×40589641000000     		ar = 11439.4468410855m²