Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8386 / 6120
↖ ↑ ↗
← N 41.376808°
E  4.262695°		 ← 1 833.34 m → N 41.376808°
E  4.284668°		 →
↑
1 833.57 m
↓
↑
1 833.57 m
↓
N 41.360319°
E  4.262695°		 ← 1 833.80 m →
3 361 983 m²		 N 41.360319°
E  4.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511871337890625 y=0.373565673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511871337890625 × 214)
    floor (0.511871337890625 × 16384)
    floor (8386.5)     		tx = 8386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373565673828125 × 214)
    floor (0.373565673828125 × 16384)
    floor (6120.5)     		ty = 6120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8386 / 6120 ti = "14/8386/6120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8386/6120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8386 ÷ 214
    8386 ÷ 16384     		x = 0.5118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6120 ÷ 214
    6120 ÷ 16384     		y = 0.37353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    0.023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07439807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07439807} λ = 0.07439807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.794602048102051))-π/2
    2×atan(2.21355993112901)-π/2
    2×1.14647893510838-π/2
    2.29295787021675-1.57079632675     		φ = 0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07439807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8386 KachelY 6120 0.07439807 0.72216154 4.262695 41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 8387 KachelY 6120 0.07478156 0.72216154 4.284668 41.376808
    Unten links KachelX 8386 KachelY + 1 6121 0.07439807 0.72187374 4.262695 41.360319
    Unten rechts KachelX + 1 8387 KachelY + 1 6121 0.07478156 0.72187374 4.284668 41.360319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72216154-0.72187374) × R
    0.000287799999999949 × 6371000     		dl = 1833.57379999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72216154-0.72187374) × R
    0.000287799999999949 × 6371000     		dr = 1833.57379999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07439807-0.07478156) × cos(0.72216154) × R
    0.00038349 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 1833.33630762924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07439807-0.07478156) × cos(0.72187374) × R
    0.00038349 × 0.750568894671019 × 6371000     		du = 1833.80102437419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72216154)-sin(0.72187374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.750568894671019)×R²
    abs(0.07478156-0.07439807)×0.000190207077513382×R²
    0.00038349×0.000190207077513382×6371000²
    0.00038349×0.000190207077513382×40589641000000     		ar = 3361983.48968712m²