Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83857 / 20111
↖ ↑ ↗
← N 77.069568°
E 50.320130°		 ← 68.33 m → N 77.069568°
E 50.322876°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.068954°
E 50.320130°		 ← 68.33 m →
4 671 m²		 N 77.068954°
E 50.322876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639781951904297 y=0.153438568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639781951904297 × 217)
    floor (0.639781951904297 × 131072)
    floor (83857.5)     		tx = 83857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153438568115234 × 217)
    floor (0.153438568115234 × 131072)
    floor (20111.5)     		ty = 20111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83857 / 20111 ti = "17/83857/20111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83857/20111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83857 ÷ 217
    83857 ÷ 131072     		x = 0.639778137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20111 ÷ 217
    20111 ÷ 131072     		y = 0.153434753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639778137207031 × 2 - 1) × π
    0.279556274414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87825194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153434753417969 × 2 - 1) × π
    0.693130493164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.17753366524105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87825194} λ = 0.87825194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17753366524105))-π/2
    2×atan(8.8245151891887)-π/2
    2×1.45795702227171-π/2
    2.91591404454342-1.57079632675     		φ = 1.34511772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87825194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.320130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34511772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.069568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83857 KachelY 20111 0.87825194 1.34511772 50.320130 77.069568
    Oben rechts KachelX + 1 83858 KachelY 20111 0.87829987 1.34511772 50.322876 77.069568
    Unten links KachelX 83857 KachelY + 1 20112 0.87825194 1.34510699 50.320130 77.068954
    Unten rechts KachelX + 1 83858 KachelY + 1 20112 0.87829987 1.34510699 50.322876 77.068954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34511772-1.34510699) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dl = 68.360830000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34511772-1.34510699) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dr = 68.360830000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87825194-0.87829987) × cos(1.34511772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223767812614618 × 6371000     		do = 68.330193508701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87825194-0.87829987) × cos(1.34510699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223778270515558 × 6371000     		du = 68.3333869545619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34511772)-sin(1.34510699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223767812614618-0.223778270515558)×R²
    abs(0.87829987-0.87825194)×1.04579009409522e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04579009409522e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04579009409522e-05×40589641000000     		ar = 4671.21789570453m²