Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83855 / 19599
↖ ↑ ↗
← N 77.380506°
E 50.314636°		 ← 66.73 m → N 77.380506°
E 50.317383°		 →
↑
66.70 m
↓
↑
66.70 m
↓
N 77.379906°
E 50.314636°		 ← 66.73 m →
4 451 m²		 N 77.379906°
E 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639766693115234 y=0.149532318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639766693115234 × 217)
    floor (0.639766693115234 × 131072)
    floor (83855.5)     		tx = 83855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149532318115234 × 217)
    floor (0.149532318115234 × 131072)
    floor (19599.5)     		ty = 19599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83855 / 19599 ti = "17/83855/19599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83855/19599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83855 ÷ 217
    83855 ÷ 131072     		x = 0.639762878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19599 ÷ 217
    19599 ÷ 131072     		y = 0.149528503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639762878417969 × 2 - 1) × π
    0.279525756835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87815606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149528503417969 × 2 - 1) × π
    0.700942993164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.20207735784652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87815606} λ = 0.87815606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20207735784652))-π/2
    2×atan(9.04378116887561)-π/2
    2×1.46067046893068-π/2
    2.92134093786137-1.57079632675     		φ = 1.35054461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87815606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.314636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35054461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.380506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83855 KachelY 19599 0.87815606 1.35054461 50.314636 77.380506
    Oben rechts KachelX + 1 83856 KachelY 19599 0.87820400 1.35054461 50.317383 77.380506
    Unten links KachelX 83855 KachelY + 1 19600 0.87815606 1.35053414 50.314636 77.379906
    Unten rechts KachelX + 1 83856 KachelY + 1 19600 0.87820400 1.35053414 50.317383 77.379906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35054461-1.35053414) × R
    1.04700000000957e-05 × 6371000     		dl = 66.7043700006096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35054461-1.35053414) × R
    1.04700000000957e-05 × 6371000     		dr = 66.7043700006096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87815606-0.87820400) × cos(1.35054461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218475265942707 × 6371000     		do = 66.7279697722044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87815606-0.87820400) × cos(1.35053414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218485483001565 × 6371000     		du = 66.7310903249665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35054461)-sin(1.35053414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218475265942707-0.218485483001565)×R²
    abs(0.87820400-0.87815606)×1.0217058857287e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0217058857287e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0217058857287e-05×40589641000000     		ar = 4451.15126222509m²