Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8385 / 6122
↖ ↑ ↗
← N 41.343824°
E  4.240722°		 ← 1 834.31 m → N 41.343824°
E  4.262695°		 →
↑
1 834.47 m
↓
↑
1 834.47 m
↓
N 41.327327°
E  4.240722°		 ← 1 834.78 m →
3 365 412 m²		 N 41.327327°
E  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511810302734375 y=0.373687744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511810302734375 × 214)
    floor (0.511810302734375 × 16384)
    floor (8385.5)     		tx = 8385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373687744140625 × 214)
    floor (0.373687744140625 × 16384)
    floor (6122.5)     		ty = 6122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8385 / 6122 ti = "14/8385/6122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8385/6122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8385 ÷ 214
    8385 ÷ 16384     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6122 ÷ 214
    6122 ÷ 16384     		y = 0.3736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79383505770813))-π/2
    2×atan(2.2118628028492)-π/2
    2×1.14619109554326-π/2
    2.29238219108652-1.57079632675     		φ = 0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8385 KachelY 6122 0.07401457 0.72158586 4.240722 41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 8386 KachelY 6122 0.07439807 0.72158586 4.262695 41.343824
    Unten links KachelX 8385 KachelY + 1 6123 0.07401457 0.72129792 4.240722 41.327327
    Unten rechts KachelX + 1 8386 KachelY + 1 6123 0.07439807 0.72129792 4.262695 41.327327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72158586-0.72129792) × R
    0.000287939999999987 × 6371000     		dl = 1834.46573999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72158586-0.72129792) × R
    0.000287939999999987 × 6371000     		dr = 1834.46573999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07439807) × cos(0.72158586) × R
    0.000383499999999995 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 1834.31354920362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07439807) × cos(0.72129792) × R
    0.000383499999999995 × 0.750949267583241 × 6371000     		du = 1834.77820007686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72158586)-sin(0.72129792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750949267583241)×R²
    abs(0.07439807-0.07401457)×0.000190175157368633×R²
    0.000383499999999995×0.000190175157368633×6371000²
    0.000383499999999995×0.000190175157368633×40589641000000     		ar = 3365411.57873766m²