Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83846 / 21130
↖ ↑ ↗
← N 76.428160°
E 50.289917°		 ← 71.67 m → N 76.428160°
E 50.292664°		 →
↑
71.67 m
↓
↑
71.67 m
↓
N 76.427515°
E 50.289917°		 ← 71.68 m →
5 137 m²		 N 76.427515°
E 50.292664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639698028564453 y=0.161212921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639698028564453 × 217)
    floor (0.639698028564453 × 131072)
    floor (83846.5)     		tx = 83846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161212921142578 × 217)
    floor (0.161212921142578 × 131072)
    floor (21130.5)     		ty = 21130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83846 / 21130 ti = "17/83846/21130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83846/21130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83846 ÷ 217
    83846 ÷ 131072     		x = 0.639694213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21130 ÷ 217
    21130 ÷ 131072     		y = 0.161209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639694213867188 × 2 - 1) × π
    0.279388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87772463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161209106445312 × 2 - 1) × π
    0.677581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12868596452821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87772463} λ = 0.87772463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12868596452821))-π/2
    2×atan(8.40381663970837)-π/2
    2×1.45235967857259-π/2
    2.90471935714518-1.57079632675     		φ = 1.33392303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87772463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.289917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33392303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.428160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83846 KachelY 21130 0.87772463 1.33392303 50.289917 76.428160
    Oben rechts KachelX + 1 83847 KachelY 21130 0.87777257 1.33392303 50.292664 76.428160
    Unten links KachelX 83846 KachelY + 1 21131 0.87772463 1.33391178 50.289917 76.427515
    Unten rechts KachelX + 1 83847 KachelY + 1 21131 0.87777257 1.33391178 50.292664 76.427515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33392303-1.33391178) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dl = 71.6737500001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33392303-1.33391178) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dr = 71.6737500001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87772463-0.87777257) × cos(1.33392303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234664383894557 × 6371000     		do = 71.6725431025921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87772463-0.87777257) × cos(1.33391178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234675319739782 × 6371000     		du = 71.6758831912127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33392303)-sin(1.33391178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234664383894557-0.234675319739782)×R²
    abs(0.87777257-0.87772463)×1.09358452256569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09358452256569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09358452256569e-05×40589641000000     		ar = 5137.15963454317m²