Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83846 / 20864
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
E 50.289917°		 ← 70.79 m → N 76.598545°
E 50.292664°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.597908°
E 50.289917°		 ← 70.79 m →
5 011 m²		 N 76.597908°
E 50.292664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639698028564453 y=0.159183502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639698028564453 × 217)
    floor (0.639698028564453 × 131072)
    floor (83846.5)     		tx = 83846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159183502197266 × 217)
    floor (0.159183502197266 × 131072)
    floor (20864.5)     		ty = 20864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83846 / 20864 ti = "17/83846/20864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83846/20864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83846 ÷ 217
    83846 ÷ 131072     		x = 0.639694213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20864 ÷ 217
    20864 ÷ 131072     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639694213867188 × 2 - 1) × π
    0.279388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87772463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87772463} λ = 0.87772463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87772463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.289917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83846 KachelY 20864 0.87772463 1.33689681 50.289917 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 83847 KachelY 20864 0.87777257 1.33689681 50.292664 76.598545
    Unten links KachelX 83846 KachelY + 1 20865 0.87772463 1.33688570 50.289917 76.597908
    Unten rechts KachelX + 1 83847 KachelY + 1 20865 0.87777257 1.33688570 50.292664 76.597908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33688570) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33688570) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87772463-0.87777257) × cos(1.33689681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 70.7893206262899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87772463-0.87777257) × cos(1.33688570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231783416495606 × 6371000     		du = 70.7926215028523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33688570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.231783416495606)×R²
    abs(0.87777257-0.87772463)×1.08074603088759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08074603088759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08074603088759e-05×40589641000000     		ar = 5010.71306379534m²