Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83843 / 20860
↖ ↑ ↗
← N 76.601091°
E 50.281677°		 ← 70.78 m → N 76.601091°
E 50.284424°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.600455°
E 50.281677°		 ← 70.78 m →
5 010 m²		 N 76.600455°
E 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639675140380859 y=0.159152984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639675140380859 × 217)
    floor (0.639675140380859 × 131072)
    floor (83843.5)     		tx = 83843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159152984619141 × 217)
    floor (0.159152984619141 × 131072)
    floor (20860.5)     		ty = 20860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83843 / 20860 ti = "17/83843/20860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83843/20860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83843 ÷ 217
    83843 ÷ 131072     		x = 0.639671325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20860 ÷ 217
    20860 ÷ 131072     		y = 0.159149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639671325683594 × 2 - 1) × π
    0.279342651367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.87758082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159149169921875 × 2 - 1) × π
    0.68170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14162892742563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87758082} λ = 0.87758082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14162892742563))-π/2
    2×atan(8.51329387829072)-π/2
    2×1.45386878908318-π/2
    2.90773757816635-1.57079632675     		φ = 1.33694125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87758082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.281677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33694125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.601091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83843 KachelY 20860 0.87758082 1.33694125 50.281677 76.601091
    Oben rechts KachelX + 1 83844 KachelY 20860 0.87762876 1.33694125 50.284424 76.601091
    Unten links KachelX 83843 KachelY + 1 20861 0.87758082 1.33693014 50.281677 76.600455
    Unten rechts KachelX + 1 83844 KachelY + 1 20861 0.87762876 1.33693014 50.284424 76.600455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33694125-1.33693014) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33694125-1.33693014) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87758082-0.87762876) × cos(1.33694125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231729378907993 × 6371000     		do = 70.7761170326678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87758082-0.87762876) × cos(1.33693014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231740186482727 × 6371000     		du = 70.7794179441785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33694125)-sin(1.33693014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231729378907993-0.231740186482727)×R²
    abs(0.87762876-0.87758082)×1.08075747335956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08075747335956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08075747335956e-05×40589641000000     		ar = 5009.77849064972m²