Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83840 / 21122
↖ ↑ ↗
← N 76.433315°
E 50.273437°		 ← 71.65 m → N 76.433315°
E 50.276184°		 →
↑
71.67 m
↓
↑
71.67 m
↓
N 76.432671°
E 50.273437°		 ← 71.65 m →
5 135 m²		 N 76.432671°
E 50.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639652252197266 y=0.161151885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639652252197266 × 217)
    floor (0.639652252197266 × 131072)
    floor (83840.5)     		tx = 83840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161151885986328 × 217)
    floor (0.161151885986328 × 131072)
    floor (21122.5)     		ty = 21122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83840 / 21122 ti = "17/83840/21122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83840/21122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83840 ÷ 217
    83840 ÷ 131072     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21122 ÷ 217
    21122 ÷ 131072     		y = 0.161148071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161148071289062 × 2 - 1) × π
    0.677703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12906945972517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12906945972517))-π/2
    2×atan(8.40704008107347)-π/2
    2×1.45240466651855-π/2
    2.90480933303711-1.57079632675     		φ = 1.33401301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33401301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.433315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83840 KachelY 21122 0.87743701 1.33401301 50.273437 76.433315
    Oben rechts KachelX + 1 83841 KachelY 21122 0.87748495 1.33401301 50.276184 76.433315
    Unten links KachelX 83840 KachelY + 1 21123 0.87743701 1.33400176 50.273437 76.432671
    Unten rechts KachelX + 1 83841 KachelY + 1 21123 0.87748495 1.33400176 50.276184 76.432671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33401301-1.33400176) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dl = 71.6737500001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33401301-1.33400176) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dr = 71.6737500001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.87748495) × cos(1.33401301) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.23457691550563 × 6371000     		do = 71.6458280053433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.87748495) × cos(1.33400176) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.234587851588361 × 6371000     		du = 71.6491681665044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33401301)-sin(1.33400176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23457691550563-0.234587851588361)×R²
    abs(0.87748495-0.87743701)×1.09360827318106e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.09360827318106e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.09360827318106e-05×40589641000000     		ar = 5135.24486606054m²