Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83839 / 21123
↖ ↑ ↗
← N 76.432671°
E 50.270691°		 ← 71.65 m → N 76.432671°
E 50.273437°		 →
↑
71.61 m
↓
↑
71.61 m
↓
N 76.432027°
E 50.270691°		 ← 71.65 m →
5 131 m²		 N 76.432027°
E 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639644622802734 y=0.161159515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639644622802734 × 217)
    floor (0.639644622802734 × 131072)
    floor (83839.5)     		tx = 83839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161159515380859 × 217)
    floor (0.161159515380859 × 131072)
    floor (21123.5)     		ty = 21123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83839 / 21123 ti = "17/83839/21123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83839/21123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83839 ÷ 217
    83839 ÷ 131072     		x = 0.639640808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21123 ÷ 217
    21123 ÷ 131072     		y = 0.161155700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639640808105469 × 2 - 1) × π
    0.279281616210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87738907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161155700683594 × 2 - 1) × π
    0.677688598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.12902152282555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87738907} λ = 0.87738907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12902152282555))-π/2
    2×atan(8.40663708329631)-π/2
    2×1.45239904394244-π/2
    2.90479808788487-1.57079632675     		φ = 1.33400176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87738907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.270691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33400176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.432671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83839 KachelY 21123 0.87738907 1.33400176 50.270691 76.432671
    Oben rechts KachelX + 1 83840 KachelY 21123 0.87743701 1.33400176 50.273437 76.432671
    Unten links KachelX 83839 KachelY + 1 21124 0.87738907 1.33399052 50.270691 76.432027
    Unten rechts KachelX + 1 83840 KachelY + 1 21124 0.87743701 1.33399052 50.273437 76.432027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33400176-1.33399052) × R
    1.1240000000079e-05 × 6371000     		dl = 71.6100400005031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33400176-1.33399052) × R
    1.1240000000079e-05 × 6371000     		dr = 71.6100400005031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87738907-0.87743701) × cos(1.33400176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234587851588361 × 6371000     		do = 71.6491681663385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87738907-0.87743701) × cos(1.33399052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23459877792048 × 6371000     		du = 71.6525053494114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33400176)-sin(1.33399052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234587851588361-0.23459877792048)×R²
    abs(0.87743701-0.87738907)×1.09263321189934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09263321189934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09263321189934e-05×40589641000000     		ar = 5130.91928643487m²