Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83838 / 21127
↖ ↑ ↗
← N 76.430094°
E 50.267945°		 ← 71.65 m → N 76.430094°
E 50.270691°		 →
↑
71.67 m
↓
↑
71.67 m
↓
N 76.429449°
E 50.267945°		 ← 71.65 m →
5 135 m²		 N 76.429449°
E 50.270691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639636993408203 y=0.161190032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639636993408203 × 217)
    floor (0.639636993408203 × 131072)
    floor (83838.5)     		tx = 83838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161190032958984 × 217)
    floor (0.161190032958984 × 131072)
    floor (21127.5)     		ty = 21127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83838 / 21127 ti = "17/83838/21127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83838/21127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83838 ÷ 217
    83838 ÷ 131072     		x = 0.639633178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21127 ÷ 217
    21127 ÷ 131072     		y = 0.161186218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639633178710938 × 2 - 1) × π
    0.279266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87734114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161186218261719 × 2 - 1) × π
    0.677627563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.12882977522707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87734114} λ = 0.87734114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12882977522707))-π/2
    2×atan(8.40502528535842)-π/2
    2×1.45237655101772-π/2
    2.90475310203544-1.57079632675     		φ = 1.33395678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87734114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.267945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33395678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.430094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83838 KachelY 21127 0.87734114 1.33395678 50.267945 76.430094
    Oben rechts KachelX + 1 83839 KachelY 21127 0.87738907 1.33395678 50.270691 76.430094
    Unten links KachelX 83838 KachelY + 1 21128 0.87734114 1.33394553 50.267945 76.429449
    Unten rechts KachelX + 1 83839 KachelY + 1 21128 0.87738907 1.33394553 50.270691 76.429449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33395678-1.33394553) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dl = 71.6737500001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33395678-1.33394553) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dr = 71.6737500001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87734114-0.87738907) × cos(1.33395678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234631576180687 × 6371000     		do = 71.6475744046781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87734114-0.87738907) × cos(1.33394553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234642512115008 × 6371000     		du = 71.6509138237822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33395678)-sin(1.33394553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234631576180687-0.234642512115008)×R²
    abs(0.87738907-0.87734114)×1.09359343206661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09359343206661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09359343206661e-05×40589641000000     		ar = 5135.37001026532m²