Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83838 / 21119
↖ ↑ ↗
← N 76.435248°
E 50.267945°		 ← 71.62 m → N 76.435248°
E 50.270691°		 →
↑
71.61 m
↓
↑
71.61 m
↓
N 76.434604°
E 50.267945°		 ← 71.62 m →
5 129 m²		 N 76.434604°
E 50.270691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639636993408203 y=0.161128997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639636993408203 × 217)
    floor (0.639636993408203 × 131072)
    floor (83838.5)     		tx = 83838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161128997802734 × 217)
    floor (0.161128997802734 × 131072)
    floor (21119.5)     		ty = 21119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83838 / 21119 ti = "17/83838/21119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83838/21119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83838 ÷ 217
    83838 ÷ 131072     		x = 0.639633178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21119 ÷ 217
    21119 ÷ 131072     		y = 0.161125183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639633178710938 × 2 - 1) × π
    0.279266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87734114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161125183105469 × 2 - 1) × π
    0.677749633789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12921327042403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87734114} λ = 0.87734114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12921327042403))-π/2
    2×atan(8.40824919032221)-π/2
    2×1.45242153267493-π/2
    2.90484306534987-1.57079632675     		φ = 1.33404674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87734114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.267945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33404674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.435248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83838 KachelY 21119 0.87734114 1.33404674 50.267945 76.435248
    Oben rechts KachelX + 1 83839 KachelY 21119 0.87738907 1.33404674 50.270691 76.435248
    Unten links KachelX 83838 KachelY + 1 21120 0.87734114 1.33403550 50.267945 76.434604
    Unten rechts KachelX + 1 83839 KachelY + 1 21120 0.87738907 1.33403550 50.270691 76.434604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33404674-1.33403550) × R
    1.1240000000079e-05 × 6371000     		dl = 71.6100400005031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33404674-1.33403550) × R
    1.1240000000079e-05 × 6371000     		dr = 71.6100400005031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87734114-0.87738907) × cos(1.33404674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234544126521417 × 6371000     		do = 71.6208705992007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87734114-0.87738907) × cos(1.33403550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23455505297213 × 6371000     		du = 71.624207122371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33404674)-sin(1.33403550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234544126521417-0.23455505297213)×R²
    abs(0.87738907-0.87734114)×1.09264507125173e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09264507125173e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09264507125173e-05×40589641000000     		ar = 5128.89287288907m²