Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83830 / 20902
↖ ↑ ↗
← N 76.574333°
E 50.245972°		 ← 70.91 m → N 76.574333°
E 50.248718°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.573696°
E 50.245972°		 ← 70.92 m →
5 029 m²		 N 76.573696°
E 50.248718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639575958251953 y=0.159473419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639575958251953 × 217)
    floor (0.639575958251953 × 131072)
    floor (83830.5)     		tx = 83830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159473419189453 × 217)
    floor (0.159473419189453 × 131072)
    floor (20902.5)     		ty = 20902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83830 / 20902 ti = "17/83830/20902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83830/20902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83830 ÷ 217
    83830 ÷ 131072     		x = 0.639572143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20902 ÷ 217
    20902 ÷ 131072     		y = 0.159469604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639572143554688 × 2 - 1) × π
    0.279144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87695764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159469604492188 × 2 - 1) × π
    0.681060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13961557764159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87695764} λ = 0.87695764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13961557764159))-π/2
    2×atan(8.49617088297295)-π/2
    2×1.45363528435515-π/2
    2.90727056871031-1.57079632675     		φ = 1.33647424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87695764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.245972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33647424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.574333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83830 KachelY 20902 0.87695764 1.33647424 50.245972 76.574333
    Oben rechts KachelX + 1 83831 KachelY 20902 0.87700558 1.33647424 50.248718 76.574333
    Unten links KachelX 83830 KachelY + 1 20903 0.87695764 1.33646311 50.245972 76.573696
    Unten rechts KachelX + 1 83831 KachelY + 1 20903 0.87700558 1.33646311 50.248718 76.573696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33647424-1.33646311) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dl = 70.9092300005183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33647424-1.33646311) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dr = 70.9092300005183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87695764-0.87700558) × cos(1.33647424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232183651745378 × 6371000     		do = 70.9148636501878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87695764-0.87700558) × cos(1.33646311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232194477569969 × 6371000     		du = 70.9181701356747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33647424)-sin(1.33646311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232183651745378-0.232194477569969)×R²
    abs(0.87700558-0.87695764)×1.0825824591304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0825824591304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0825824591304e-05×40589641000000     		ar = 5028.63560722492m²