Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83826 / 21140
↖ ↑ ↗
← N 76.421713°
E 50.234985°		 ← 71.71 m → N 76.421713°
E 50.237732°		 →
↑
71.67 m
↓
↑
71.67 m
↓
N 76.421068°
E 50.234985°		 ← 71.71 m →
5 140 m²		 N 76.421068°
E 50.237732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639545440673828 y=0.161289215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639545440673828 × 217)
    floor (0.639545440673828 × 131072)
    floor (83826.5)     		tx = 83826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161289215087891 × 217)
    floor (0.161289215087891 × 131072)
    floor (21140.5)     		ty = 21140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83826 / 21140 ti = "17/83826/21140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83826/21140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83826 ÷ 217
    83826 ÷ 131072     		x = 0.639541625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21140 ÷ 217
    21140 ÷ 131072     		y = 0.161285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639541625976562 × 2 - 1) × π
    0.279083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87676589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161285400390625 × 2 - 1) × π
    0.67742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12820659553201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87676589} λ = 0.87676589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12820659553201))-π/2
    2×atan(8.39978907598326)-π/2
    2×1.45230342005097-π/2
    2.90460684010194-1.57079632675     		φ = 1.33381051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87676589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.234985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33381051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.421713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83826 KachelY 21140 0.87676589 1.33381051 50.234985 76.421713
    Oben rechts KachelX + 1 83827 KachelY 21140 0.87681383 1.33381051 50.237732 76.421713
    Unten links KachelX 83826 KachelY + 1 21141 0.87676589 1.33379926 50.234985 76.421068
    Unten rechts KachelX + 1 83827 KachelY + 1 21141 0.87681383 1.33379926 50.237732 76.421068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33381051-1.33379926) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dl = 71.6737500001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33381051-1.33379926) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dr = 71.6737500001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87676589-0.87681383) × cos(1.33381051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234773760451099 × 6371000     		do = 71.7059495183126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87676589-0.87681383) × cos(1.33379926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234784695999198 × 6371000     		du = 71.7092895161832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33381051)-sin(1.33379926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234773760451099-0.234784695999198)×R²
    abs(0.87681383-0.87676589)×1.09355480996109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09355480996109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09355480996109e-05×40589641000000     		ar = 5139.55399440567m²