Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83825 / 21141
↖ ↑ ↗
← N 76.421068°
E 50.232239°		 ← 71.69 m → N 76.421068°
E 50.234985°		 →
↑
71.74 m
↓
↑
71.74 m
↓
N 76.420423°
E 50.232239°		 ← 71.70 m →
5 143 m²		 N 76.420423°
E 50.234985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639537811279297 y=0.161296844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639537811279297 × 217)
    floor (0.639537811279297 × 131072)
    floor (83825.5)     		tx = 83825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161296844482422 × 217)
    floor (0.161296844482422 × 131072)
    floor (21141.5)     		ty = 21141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83825 / 21141 ti = "17/83825/21141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83825/21141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83825 ÷ 217
    83825 ÷ 131072     		x = 0.639533996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21141 ÷ 217
    21141 ÷ 131072     		y = 0.161293029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639533996582031 × 2 - 1) × π
    0.279067993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87671796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161293029785156 × 2 - 1) × π
    0.677413940429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.12815865863239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87671796} λ = 0.87671796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12815865863239))-π/2
    2×atan(8.39938642578847)-π/2
    2×1.45229779275684-π/2
    2.90459558551369-1.57079632675     		φ = 1.33379926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87671796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.232239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33379926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.421068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83825 KachelY 21141 0.87671796 1.33379926 50.232239 76.421068
    Oben rechts KachelX + 1 83826 KachelY 21141 0.87676589 1.33379926 50.234985 76.421068
    Unten links KachelX 83825 KachelY + 1 21142 0.87671796 1.33378800 50.232239 76.420423
    Unten rechts KachelX + 1 83826 KachelY + 1 21142 0.87676589 1.33378800 50.234985 76.420423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33379926-1.33378800) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dl = 71.7374599997287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33379926-1.33378800) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dr = 71.7374599997287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87671796-0.87676589) × cos(1.33379926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234784695999198 × 6371000     		do = 71.694331383292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87671796-0.87676589) × cos(1.33378800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234795641238031 × 6371000     		du = 71.6976736436406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33379926)-sin(1.33378800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234784695999198-0.234795641238031)×R²
    abs(0.87676589-0.87671796)×1.09452388321885e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09452388321885e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09452388321885e-05×40589641000000     		ar = 5143.2891124499m²