Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83824 / 21136
↖ ↑ ↗
← N 76.424292°
E 50.229492°		 ← 71.69 m → N 76.424292°
E 50.232239°		 →
↑
71.74 m
↓
↑
71.74 m
↓
N 76.423647°
E 50.229492°		 ← 71.70 m →
5 143 m²		 N 76.423647°
E 50.232239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639530181884766 y=0.161258697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639530181884766 × 217)
    floor (0.639530181884766 × 131072)
    floor (83824.5)     		tx = 83824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161258697509766 × 217)
    floor (0.161258697509766 × 131072)
    floor (21136.5)     		ty = 21136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83824 / 21136 ti = "17/83824/21136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83824/21136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83824 ÷ 217
    83824 ÷ 131072     		x = 0.6395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21136 ÷ 217
    21136 ÷ 131072     		y = 0.1612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    0.279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87667002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1612548828125 × 2 - 1) × π
    0.677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12839834313049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87667002} λ = 0.87667002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12839834313049))-π/2
    2×atan(8.4013998697943)-π/2
    2×1.45232592660548-π/2
    2.90465185321097-1.57079632675     		φ = 1.33385553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87667002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33385553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.424292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83824 KachelY 21136 0.87667002 1.33385553 50.229492 76.424292
    Oben rechts KachelX + 1 83825 KachelY 21136 0.87671796 1.33385553 50.232239 76.424292
    Unten links KachelX 83824 KachelY + 1 21137 0.87667002 1.33384427 50.229492 76.423647
    Unten rechts KachelX + 1 83825 KachelY + 1 21137 0.87671796 1.33384427 50.232239 76.423647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33385553-1.33384427) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dl = 71.7374599997287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33385553-1.33384427) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dr = 71.7374599997287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87667002-0.87671796) × cos(1.33385553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234729998520367 × 6371000     		do = 71.6925834982349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87667002-0.87671796) × cos(1.33384427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234740943907945 × 6371000     		du = 71.6959265013355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33385553)-sin(1.33384427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234729998520367-0.234740943907945)×R²
    abs(0.87671796-0.87667002)×1.09453875779542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09453875779542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09453875779542e-05×40589641000000     		ar = 5143.16375024345m²