Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83823 / 20922
↖ ↑ ↗
← N 76.561573°
E 50.226745°		 ← 70.98 m → N 76.561573°
E 50.229492°		 →
↑
70.97 m
↓
↑
70.97 m
↓
N 76.560935°
E 50.226745°		 ← 70.98 m →
5 038 m²		 N 76.560935°
E 50.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639522552490234 y=0.159626007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639522552490234 × 217)
    floor (0.639522552490234 × 131072)
    floor (83823.5)     		tx = 83823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159626007080078 × 217)
    floor (0.159626007080078 × 131072)
    floor (20922.5)     		ty = 20922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83823 / 20922 ti = "17/83823/20922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83823/20922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83823 ÷ 217
    83823 ÷ 131072     		x = 0.639518737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20922 ÷ 217
    20922 ÷ 131072     		y = 0.159622192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639518737792969 × 2 - 1) × π
    0.279037475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87662208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159622192382812 × 2 - 1) × π
    0.680755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13865683964919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87662208} λ = 0.87662208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13865683964919))-π/2
    2×atan(8.4880291846589)-π/2
    2×1.45352393080028-π/2
    2.90704786160056-1.57079632675     		φ = 1.33625153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87662208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.226745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33625153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.561573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83823 KachelY 20922 0.87662208 1.33625153 50.226745 76.561573
    Oben rechts KachelX + 1 83824 KachelY 20922 0.87667002 1.33625153 50.229492 76.561573
    Unten links KachelX 83823 KachelY + 1 20923 0.87662208 1.33624039 50.226745 76.560935
    Unten rechts KachelX + 1 83824 KachelY + 1 20923 0.87667002 1.33624039 50.229492 76.560935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33625153-1.33624039) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dl = 70.9729400001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33625153-1.33624039) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dr = 70.9729400001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87662208-0.87667002) × cos(1.33625153) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232400269758829 × 6371000     		do = 70.9810243674079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87662208-0.87667002) × cos(1.33624039) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232411104733787 × 6371000     		du = 70.9843336476522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33625153)-sin(1.33624039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232400269758829-0.232411104733787)×R²
    abs(0.87667002-0.87662208)×1.08349749576853e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08349749576853e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08349749576853e-05×40589641000000     		ar = 5037.849418413m²