Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83822 / 20877
↖ ↑ ↗
← N 76.590267°
E 50.223999°		 ← 70.82 m → N 76.590267°
E 50.226745°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.589630°
E 50.223999°		 ← 70.82 m →
5 013 m²		 N 76.589630°
E 50.226745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639514923095703 y=0.159282684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639514923095703 × 217)
    floor (0.639514923095703 × 131072)
    floor (83822.5)     		tx = 83822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159282684326172 × 217)
    floor (0.159282684326172 × 131072)
    floor (20877.5)     		ty = 20877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83822 / 20877 ti = "17/83822/20877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83822/20877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83822 ÷ 217
    83822 ÷ 131072     		x = 0.639511108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20877 ÷ 217
    20877 ÷ 131072     		y = 0.159278869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639511108398438 × 2 - 1) × π
    0.279022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87657415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159278869628906 × 2 - 1) × π
    0.681442260742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.14081400013209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87657415} λ = 0.87657415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14081400013209))-π/2
    2×atan(8.5063589888505)-π/2
    2×1.45377433035058-π/2
    2.90754866070116-1.57079632675     		φ = 1.33675233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87657415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.223999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33675233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.590267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83822 KachelY 20877 0.87657415 1.33675233 50.223999 76.590267
    Oben rechts KachelX + 1 83823 KachelY 20877 0.87662208 1.33675233 50.226745 76.590267
    Unten links KachelX 83822 KachelY + 1 20878 0.87657415 1.33674122 50.223999 76.589630
    Unten rechts KachelX + 1 83823 KachelY + 1 20878 0.87662208 1.33674122 50.226745 76.589630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33675233-1.33674122) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33675233-1.33674122) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87657415-0.87662208) × cos(1.33675233) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.231913152424215 × 6371000     		do = 70.8174710078369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87657415-0.87662208) × cos(1.33674122) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.231923959512367 × 6371000     		du = 70.8207710822135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33675233)-sin(1.33674122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231913152424215-0.231923959512367)×R²
    abs(0.87662208-0.87657415)×1.08070881523203e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08070881523203e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08070881523203e-05×40589641000000     		ar = 5012.70557014298m²