Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83818 / 20070
↖ ↑ ↗
← N 77.094742°
E 50.213013°		 ← 68.21 m → N 77.094742°
E 50.215760°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.094129°
E 50.213013°		 ← 68.22 m →
4 650 m²		 N 77.094129°
E 50.215760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639484405517578 y=0.153125762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639484405517578 × 217)
    floor (0.639484405517578 × 131072)
    floor (83818.5)     		tx = 83818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153125762939453 × 217)
    floor (0.153125762939453 × 131072)
    floor (20070.5)     		ty = 20070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83818 / 20070 ti = "17/83818/20070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83818/20070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83818 ÷ 217
    83818 ÷ 131072     		x = 0.639480590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20070 ÷ 217
    20070 ÷ 131072     		y = 0.153121948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639480590820312 × 2 - 1) × π
    0.278961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87638240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153121948242188 × 2 - 1) × π
    0.693756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17949907812547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87638240} λ = 0.87638240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17949907812547))-π/2
    2×atan(8.84187606009146)-π/2
    2×1.45817670985662-π/2
    2.91635341971323-1.57079632675     		φ = 1.34555709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87638240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.213013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34555709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.094742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83818 KachelY 20070 0.87638240 1.34555709 50.213013 77.094742
    Oben rechts KachelX + 1 83819 KachelY 20070 0.87643034 1.34555709 50.215760 77.094742
    Unten links KachelX 83818 KachelY + 1 20071 0.87638240 1.34554639 50.213013 77.094129
    Unten rechts KachelX + 1 83819 KachelY + 1 20071 0.87643034 1.34554639 50.215760 77.094129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34555709-1.34554639) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34555709-1.34554639) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87638240-0.87643034) × cos(1.34555709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223339562362718 × 6371000     		do = 68.2136511058646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87638240-0.87643034) × cos(1.34554639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223349992075465 × 6371000     		du = 68.2168366085983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34555709)-sin(1.34554639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223339562362718-0.223349992075465)×R²
    abs(0.87643034-0.87638240)×1.0429712746729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0429712746729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0429712746729e-05×40589641000000     		ar = 4650.21270921242m²