Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83816 / 20883
↖ ↑ ↗
← N 76.586445°
E 50.207520°		 ← 70.84 m → N 76.586445°
E 50.210266°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.585807°
E 50.207520°		 ← 70.84 m →
5 019 m²		 N 76.585807°
E 50.210266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639469146728516 y=0.159328460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639469146728516 × 217)
    floor (0.639469146728516 × 131072)
    floor (83816.5)     		tx = 83816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159328460693359 × 217)
    floor (0.159328460693359 × 131072)
    floor (20883.5)     		ty = 20883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83816 / 20883 ti = "17/83816/20883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83816/20883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83816 ÷ 217
    83816 ÷ 131072     		x = 0.63946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20883 ÷ 217
    20883 ÷ 131072     		y = 0.159324645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63946533203125 × 2 - 1) × π
    0.2789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87628653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159324645996094 × 2 - 1) × π
    0.681350708007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.14052637873437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87628653} λ = 0.87628653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14052637873437))-π/2
    2×atan(8.5039127298037)-π/2
    2×1.45374097409264-π/2
    2.90748194818528-1.57079632675     		φ = 1.33668562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87628653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33668562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.586445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83816 KachelY 20883 0.87628653 1.33668562 50.207520 76.586445
    Oben rechts KachelX + 1 83817 KachelY 20883 0.87633446 1.33668562 50.210266 76.586445
    Unten links KachelX 83816 KachelY + 1 20884 0.87628653 1.33667450 50.207520 76.585807
    Unten rechts KachelX + 1 83817 KachelY + 1 20884 0.87633446 1.33667450 50.210266 76.585807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33668562-1.33667450) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dl = 70.8455199994908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33668562-1.33667450) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dr = 70.8455199994908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87628653-0.87633446) × cos(1.33668562) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23197804315975 × 6371000     		do = 70.8372861747323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87628653-0.87633446) × cos(1.33667450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231988859803177 × 6371000     		du = 70.8405891669269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33668562)-sin(1.33667450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23197804315975-0.231988859803177)×R²
    abs(0.87633446-0.87628653)×1.08166434266421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08166434266421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08166434266421e-05×40589641000000     		ar = 5018.62137536203m²