Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83815 / 20886
↖ ↑ ↗
← N 76.584533°
E 50.204773°		 ← 70.86 m → N 76.584533°
E 50.207520°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.583896°
E 50.204773°		 ← 70.87 m →
5 020 m²		 N 76.583896°
E 50.207520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639461517333984 y=0.159351348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639461517333984 × 217)
    floor (0.639461517333984 × 131072)
    floor (83815.5)     		tx = 83815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159351348876953 × 217)
    floor (0.159351348876953 × 131072)
    floor (20886.5)     		ty = 20886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83815 / 20886 ti = "17/83815/20886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83815/20886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83815 ÷ 217
    83815 ÷ 131072     		x = 0.639457702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20886 ÷ 217
    20886 ÷ 131072     		y = 0.159347534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639457702636719 × 2 - 1) × π
    0.278915405273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87623859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159347534179688 × 2 - 1) × π
    0.681304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14038256803551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87623859} λ = 0.87623859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14038256803551))-π/2
    2×atan(8.50268986410368)-π/2
    2×1.45372429246374-π/2
    2.90744858492747-1.57079632675     		φ = 1.33665226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87623859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.204773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33665226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.584533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83815 KachelY 20886 0.87623859 1.33665226 50.204773 76.584533
    Oben rechts KachelX + 1 83816 KachelY 20886 0.87628653 1.33665226 50.207520 76.584533
    Unten links KachelX 83815 KachelY + 1 20887 0.87623859 1.33664114 50.204773 76.583896
    Unten rechts KachelX + 1 83816 KachelY + 1 20887 0.87628653 1.33664114 50.207520 76.583896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33665226-1.33664114) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dl = 70.8455199994908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33665226-1.33664114) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dr = 70.8455199994908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87623859-0.87628653) × cos(1.33665226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23201049300397 × 6371000     		do = 70.8619765134558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87623859-0.87628653) × cos(1.33664114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232021309561333 × 6371000     		du = 70.8652801684928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33665226)-sin(1.33664114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23201049300397-0.232021309561333)×R²
    abs(0.87628653-0.87623859)×1.0816557363319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0816557363319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0816557363319e-05×40589641000000     		ar = 5020.3705989663m²