Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83814 / 20911
↖ ↑ ↗
← N 76.568593°
E 50.202026°		 ← 70.94 m → N 76.568593°
E 50.204773°		 →
↑
70.97 m
↓
↑
70.97 m
↓
N 76.567955°
E 50.202026°		 ← 70.95 m →
5 035 m²		 N 76.567955°
E 50.204773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639453887939453 y=0.159542083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639453887939453 × 217)
    floor (0.639453887939453 × 131072)
    floor (83814.5)     		tx = 83814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159542083740234 × 217)
    floor (0.159542083740234 × 131072)
    floor (20911.5)     		ty = 20911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83814 / 20911 ti = "17/83814/20911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83814/20911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83814 ÷ 217
    83814 ÷ 131072     		x = 0.639450073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20911 ÷ 217
    20911 ÷ 131072     		y = 0.159538269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639450073242188 × 2 - 1) × π
    0.278900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87619065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159538269042969 × 2 - 1) × π
    0.680923461914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.13918414554501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87619065} λ = 0.87619065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13918414554501))-π/2
    2×atan(8.49250615275397)-π/2
    2×1.4535851881053-π/2
    2.9071703762106-1.57079632675     		φ = 1.33637405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87619065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.202026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33637405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.568593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83814 KachelY 20911 0.87619065 1.33637405 50.202026 76.568593
    Oben rechts KachelX + 1 83815 KachelY 20911 0.87623859 1.33637405 50.204773 76.568593
    Unten links KachelX 83814 KachelY + 1 20912 0.87619065 1.33636291 50.202026 76.567955
    Unten rechts KachelX + 1 83815 KachelY + 1 20912 0.87623859 1.33636291 50.204773 76.567955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33637405-1.33636291) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dl = 70.9729400001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33637405-1.33636291) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dr = 70.9729400001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87619065-0.87623859) × cos(1.33637405) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232281102584073 × 6371000     		do = 70.9446276448742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87619065-0.87623859) × cos(1.33636291) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232291937876154 × 6371000     		du = 70.947937021976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33637405)-sin(1.33636291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232281102584073-0.232291937876154)×R²
    abs(0.87623859-0.87619065)×1.08352920805688e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08352920805688e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08352920805688e-05×40589641000000     		ar = 5035.26623948927m²