Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83813 / 20885
↖ ↑ ↗
← N 76.585170°
E 50.199280°		 ← 70.86 m → N 76.585170°
E 50.202026°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.584533°
E 50.199280°		 ← 70.86 m →
5 020 m²		 N 76.584533°
E 50.202026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639446258544922 y=0.159343719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639446258544922 × 217)
    floor (0.639446258544922 × 131072)
    floor (83813.5)     		tx = 83813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159343719482422 × 217)
    floor (0.159343719482422 × 131072)
    floor (20885.5)     		ty = 20885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83813 / 20885 ti = "17/83813/20885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83813/20885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83813 ÷ 217
    83813 ÷ 131072     		x = 0.639442443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20885 ÷ 217
    20885 ÷ 131072     		y = 0.159339904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639442443847656 × 2 - 1) × π
    0.278884887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.87614271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159339904785156 × 2 - 1) × π
    0.681320190429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.14043050493513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87614271} λ = 0.87614271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14043050493513))-π/2
    2×atan(8.50309746646371)-π/2
    2×1.45372985326599-π/2
    2.90745970653198-1.57079632675     		φ = 1.33666338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87614271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.199280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33666338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.585170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83813 KachelY 20885 0.87614271 1.33666338 50.199280 76.585170
    Oben rechts KachelX + 1 83814 KachelY 20885 0.87619065 1.33666338 50.202026 76.585170
    Unten links KachelX 83813 KachelY + 1 20886 0.87614271 1.33665226 50.199280 76.584533
    Unten rechts KachelX + 1 83814 KachelY + 1 20886 0.87619065 1.33665226 50.202026 76.584533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33666338-1.33665226) × R
    1.11200000001421e-05 × 6371000     		dl = 70.8455200009055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33666338-1.33665226) × R
    1.11200000001421e-05 × 6371000     		dr = 70.8455200009055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87614271-0.87619065) × cos(1.33666338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231999676417917 × 6371000     		do = 70.8586728496564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87614271-0.87619065) × cos(1.33665226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23201049300397 × 6371000     		du = 70.8619765134558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33666338)-sin(1.33665226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231999676417917-0.23201049300397)×R²
    abs(0.87619065-0.87614271)×1.08165860526477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08165860526477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08165860526477e-05×40589641000000     		ar = 5020.13654937267m²