Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83811 / 20974
↖ ↑ ↗
← N 76.528341°
E 50.193787°		 ← 71.15 m → N 76.528341°
E 50.196533°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.527701°
E 50.193787°		 ← 71.16 m →
5 059 m²		 N 76.527701°
E 50.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639430999755859 y=0.160022735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639430999755859 × 217)
    floor (0.639430999755859 × 131072)
    floor (83811.5)     		tx = 83811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160022735595703 × 217)
    floor (0.160022735595703 × 131072)
    floor (20974.5)     		ty = 20974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83811 / 20974 ti = "17/83811/20974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83811/20974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83811 ÷ 217
    83811 ÷ 131072     		x = 0.639427185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20974 ÷ 217
    20974 ÷ 131072     		y = 0.160018920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639427185058594 × 2 - 1) × π
    0.278854370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.87604684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160018920898438 × 2 - 1) × π
    0.679962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13616412086894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87604684} λ = 0.87604684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13616412086894))-π/2
    2×atan(8.46689726381322)-π/2
    2×1.4532339251511-π/2
    2.9064678503022-1.57079632675     		φ = 1.33567152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87604684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.193787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33567152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.528341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83811 KachelY 20974 0.87604684 1.33567152 50.193787 76.528341
    Oben rechts KachelX + 1 83812 KachelY 20974 0.87609478 1.33567152 50.196533 76.528341
    Unten links KachelX 83811 KachelY + 1 20975 0.87604684 1.33566036 50.193787 76.527701
    Unten rechts KachelX + 1 83812 KachelY + 1 20975 0.87609478 1.33566036 50.196533 76.527701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33567152-1.33566036) × R
    1.1159999999899e-05 × 6371000     		dl = 71.1003599993567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33567152-1.33566036) × R
    1.1159999999899e-05 × 6371000     		dr = 71.1003599993567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87604684-0.87609478) × cos(1.33567152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232964360096568 × 6371000     		do = 71.153312076074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87604684-0.87609478) × cos(1.33566036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232975213017711 × 6371000     		du = 71.1566268375453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33567152)-sin(1.33566036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232964360096568-0.232975213017711)×R²
    abs(0.87609478-0.87604684)×1.08529211431674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08529211431674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08529211431674e-05×40589641000000     		ar = 5059.14394406929m²