Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83811 / 20920
↖ ↑ ↗
← N 76.562850°
E 50.193787°		 ← 70.97 m → N 76.562850°
E 50.196533°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.562212°
E 50.193787°		 ← 70.98 m →
5 033 m²		 N 76.562212°
E 50.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639430999755859 y=0.159610748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639430999755859 × 217)
    floor (0.639430999755859 × 131072)
    floor (83811.5)     		tx = 83811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159610748291016 × 217)
    floor (0.159610748291016 × 131072)
    floor (20920.5)     		ty = 20920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83811 / 20920 ti = "17/83811/20920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83811/20920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83811 ÷ 217
    83811 ÷ 131072     		x = 0.639427185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20920 ÷ 217
    20920 ÷ 131072     		y = 0.15960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639427185058594 × 2 - 1) × π
    0.278854370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.87604684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15960693359375 × 2 - 1) × π
    0.6807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13875271344843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87604684} λ = 0.87604684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13875271344843))-π/2
    2×atan(8.48884300327621)-π/2
    2×1.45353507082905-π/2
    2.9070701416581-1.57079632675     		φ = 1.33627381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87604684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.193787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33627381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.562850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83811 KachelY 20920 0.87604684 1.33627381 50.193787 76.562850
    Oben rechts KachelX + 1 83812 KachelY 20920 0.87609478 1.33627381 50.196533 76.562850
    Unten links KachelX 83811 KachelY + 1 20921 0.87604684 1.33626268 50.193787 76.562212
    Unten rechts KachelX + 1 83812 KachelY + 1 20921 0.87609478 1.33626268 50.196533 76.562212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33627381-1.33626268) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dl = 70.9092300005183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33627381-1.33626268) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dr = 70.9092300005183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87604684-0.87609478) × cos(1.33627381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232378599722393 × 6371000     		do = 70.9744057803291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87604684-0.87609478) × cos(1.33626268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232389425028803 × 6371000     		du = 70.97771210755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33627381)-sin(1.33626268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232378599722393-0.232389425028803)×R²
    abs(0.87609478-0.87604684)×1.08253064097785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08253064097785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08253064097785e-05×40589641000000     		ar = 5032.85768829712m²