Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83810 / 20916
↖ ↑ ↗
← N 76.565403°
E 50.191040°		 ← 70.96 m → N 76.565403°
E 50.193787°		 →
↑
70.97 m
↓
↑
70.97 m
↓
N 76.564764°
E 50.191040°		 ← 70.96 m →
5 036 m²		 N 76.564764°
E 50.193787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639423370361328 y=0.159580230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639423370361328 × 217)
    floor (0.639423370361328 × 131072)
    floor (83810.5)     		tx = 83810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159580230712891 × 217)
    floor (0.159580230712891 × 131072)
    floor (20916.5)     		ty = 20916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83810 / 20916 ti = "17/83810/20916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83810/20916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83810 ÷ 217
    83810 ÷ 131072     		x = 0.639419555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20916 ÷ 217
    20916 ÷ 131072     		y = 0.159576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639419555664062 × 2 - 1) × π
    0.278839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87599890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159576416015625 × 2 - 1) × π
    0.68084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13894446104691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87599890} λ = 0.87599890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13894446104691))-π/2
    2×atan(8.49047087460119)-π/2
    2×1.45355734777044-π/2
    2.90711469554087-1.57079632675     		φ = 1.33631837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87599890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.191040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33631837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.565403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83810 KachelY 20916 0.87599890 1.33631837 50.191040 76.565403
    Oben rechts KachelX + 1 83811 KachelY 20916 0.87604684 1.33631837 50.193787 76.565403
    Unten links KachelX 83810 KachelY + 1 20917 0.87599890 1.33630723 50.191040 76.564764
    Unten rechts KachelX + 1 83811 KachelY + 1 20917 0.87604684 1.33630723 50.193787 76.564764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33631837-1.33630723) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dl = 70.9729400001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33631837-1.33630723) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dr = 70.9729400001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87599890-0.87604684) × cos(1.33631837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232335259303474 × 6371000     		do = 70.9611685008088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87599890-0.87604684) × cos(1.33630723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232346094451456 × 6371000     		du = 70.9644778338993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33631837)-sin(1.33630723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232335259303474-0.232346094451456)×R²
    abs(0.87604684-0.87599890)×1.08351479822244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08351479822244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08351479822244e-05×40589641000000     		ar = 5036.44019092822m²