Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8381 / 6115
↖ ↑ ↗
← N 41.459195°
E  4.152832°		 ← 1 831.06 m → N 41.459195°
E  4.174805°		 →
↑
1 831.22 m
↓
↑
1 831.22 m
↓
N 41.442727°
E  4.152832°		 ← 1 831.52 m →
3 353 493 m²		 N 41.442727°
E  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511566162109375 y=0.373260498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511566162109375 × 214)
    floor (0.511566162109375 × 16384)
    floor (8381.5)     		tx = 8381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373260498046875 × 214)
    floor (0.373260498046875 × 16384)
    floor (6115.5)     		ty = 6115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8381 / 6115 ti = "14/8381/6115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8381/6115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8381 ÷ 214
    8381 ÷ 16384     		x = 0.51153564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6115 ÷ 214
    6115 ÷ 16384     		y = 0.37322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51153564453125 × 2 - 1) × π
    0.0230712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07248059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37322998046875 × 2 - 1) × π
    0.2535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.796519524086853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07248059} λ = 0.07248059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.796519524086853))-π/2
    2×atan(2.21780845105361)-π/2
    2×1.14719789568893-π/2
    2.29439579137785-1.57079632675     		φ = 0.72359946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07248059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.152832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72359946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.459195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8381 KachelY 6115 0.07248059 0.72359946 4.152832 41.459195
    Oben rechts KachelX + 1 8382 KachelY 6115 0.07286409 0.72359946 4.174805 41.459195
    Unten links KachelX 8381 KachelY + 1 6116 0.07248059 0.72331203 4.152832 41.442727
    Unten rechts KachelX + 1 8382 KachelY + 1 6116 0.07286409 0.72331203 4.174805 41.442727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72359946-0.72331203) × R
    0.000287429999999977 × 6371000     		dl = 1831.21652999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72359946-0.72331203) × R
    0.000287429999999977 × 6371000     		dr = 1831.21652999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07248059-0.07286409) × cos(0.72359946) × R
    0.000383500000000009 × 0.74942743528012 × 6371000     		do = 1831.0599399301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07248059-0.07286409) × cos(0.72331203) × R
    0.000383500000000009 × 0.749617707839755 × 6371000     		du = 1831.5248287842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72359946)-sin(0.72331203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74942743528012-0.749617707839755)×R²
    abs(0.07286409-0.07248059)×0.000190272559635107×R²
    0.000383500000000009×0.000190272559635107×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190272559635107×40589641000000     		ar = 3353492.9085849m²