Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83809 / 20967
↖ ↑ ↗
← N 76.532819°
E 50.188294°		 ← 71.12 m → N 76.532819°
E 50.191040°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.532180°
E 50.188294°		 ← 71.12 m →
5 056 m²		 N 76.532180°
E 50.191040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639415740966797 y=0.159969329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639415740966797 × 217)
    floor (0.639415740966797 × 131072)
    floor (83809.5)     		tx = 83809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159969329833984 × 217)
    floor (0.159969329833984 × 131072)
    floor (20967.5)     		ty = 20967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83809 / 20967 ti = "17/83809/20967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83809/20967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83809 ÷ 217
    83809 ÷ 131072     		x = 0.639411926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20967 ÷ 217
    20967 ÷ 131072     		y = 0.159965515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639411926269531 × 2 - 1) × π
    0.278823852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87595097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159965515136719 × 2 - 1) × π
    0.680068969726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.13649967916628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87595097} λ = 0.87595097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13649967916628))-π/2
    2×atan(8.46973887817979)-π/2
    2×1.45327300533572-π/2
    2.90654601067143-1.57079632675     		φ = 1.33574968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87595097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.188294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33574968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.532819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83809 KachelY 20967 0.87595097 1.33574968 50.188294 76.532819
    Oben rechts KachelX + 1 83810 KachelY 20967 0.87599890 1.33574968 50.191040 76.532819
    Unten links KachelX 83809 KachelY + 1 20968 0.87595097 1.33573852 50.188294 76.532180
    Unten rechts KachelX + 1 83810 KachelY + 1 20968 0.87599890 1.33573852 50.191040 76.532180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33574968-1.33573852) × R
    1.1159999999899e-05 × 6371000     		dl = 71.1003599993567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33574968-1.33573852) × R
    1.1159999999899e-05 × 6371000     		dr = 71.1003599993567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87595097-0.87599890) × cos(1.33574968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23288834993609 × 6371000     		do = 71.1152592998784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87595097-0.87599890) × cos(1.33573852) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232899203060412 × 6371000     		du = 71.1185734319531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33574968)-sin(1.33573852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23288834993609-0.232899203060412)×R²
    abs(0.87599890-0.87595097)×1.08531243215582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08531243215582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08531243215582e-05×40589641000000     		ar = 5056.43835566009m²