Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83808 / 19936
↖ ↑ ↗
← N 77.176684°
E 50.185547°		 ← 67.79 m → N 77.176684°
E 50.188294°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.176074°
E 50.185547°		 ← 67.79 m →
4 595 m²		 N 77.176074°
E 50.188294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639408111572266 y=0.152103424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639408111572266 × 217)
    floor (0.639408111572266 × 131072)
    floor (83808.5)     		tx = 83808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152103424072266 × 217)
    floor (0.152103424072266 × 131072)
    floor (19936.5)     		ty = 19936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83808 / 19936 ti = "17/83808/19936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83808/19936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83808 ÷ 217
    83808 ÷ 131072     		x = 0.639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19936 ÷ 217
    19936 ÷ 131072     		y = 0.152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639404296875 × 2 - 1) × π
    0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152099609375 × 2 - 1) × π
    0.69580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87590303} λ = 0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18592262267456))-π/2
    2×atan(8.8988550524872)-π/2
    2×1.45889178443587-π/2
    2.91778356887174-1.57079632675     		φ = 1.34698724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34698724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.176684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83808 KachelY 19936 0.87590303 1.34698724 50.185547 77.176684
    Oben rechts KachelX + 1 83809 KachelY 19936 0.87595097 1.34698724 50.188294 77.176684
    Unten links KachelX 83808 KachelY + 1 19937 0.87590303 1.34697660 50.185547 77.176074
    Unten rechts KachelX + 1 83809 KachelY + 1 19937 0.87595097 1.34697660 50.188294 77.176074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34698724-1.34697660) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34698724-1.34697660) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87590303-0.87595097) × cos(1.34698724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221945309018804 × 6371000     		do = 67.7878102465526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87590303-0.87595097) × cos(1.34697660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221955683635236 × 6371000     		du = 67.7909789214533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34698724)-sin(1.34697660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221945309018804-0.221955683635236)×R²
    abs(0.87595097-0.87590303)×1.03746164314134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03746164314134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03746164314134e-05×40589641000000     		ar = 4595.26951801472m²