Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83806 / 20955
↖ ↑ ↗
← N 76.540493°
E 50.180054°		 ← 71.08 m → N 76.540493°
E 50.182800°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.539854°
E 50.180054°		 ← 71.08 m →
5 049 m²		 N 76.539854°
E 50.182800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639392852783203 y=0.159877777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639392852783203 × 217)
    floor (0.639392852783203 × 131072)
    floor (83806.5)     		tx = 83806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159877777099609 × 217)
    floor (0.159877777099609 × 131072)
    floor (20955.5)     		ty = 20955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83806 / 20955 ti = "17/83806/20955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83806/20955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83806 ÷ 217
    83806 ÷ 131072     		x = 0.639389038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20955 ÷ 217
    20955 ÷ 131072     		y = 0.159873962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639389038085938 × 2 - 1) × π
    0.278778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87580716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159873962402344 × 2 - 1) × π
    0.680252075195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.13707492196172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87580716} λ = 0.87580716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13707492196172))-π/2
    2×atan(8.47461243605387)-π/2
    2×1.45333997027446-π/2
    2.90667994054891-1.57079632675     		φ = 1.33588361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87580716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.180054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33588361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.540493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83806 KachelY 20955 0.87580716 1.33588361 50.180054 76.540493
    Oben rechts KachelX + 1 83807 KachelY 20955 0.87585509 1.33588361 50.182800 76.540493
    Unten links KachelX 83806 KachelY + 1 20956 0.87580716 1.33587246 50.180054 76.539854
    Unten rechts KachelX + 1 83807 KachelY + 1 20956 0.87585509 1.33587246 50.182800 76.539854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33588361-1.33587246) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dl = 71.0366499997439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33588361-1.33587246) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dr = 71.0366499997439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87580716-0.87585509) × cos(1.33588361) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232758100456863 × 6371000     		do = 71.0754860543306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87580716-0.87585509) × cos(1.33587246) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232768944203864 × 6371000     		du = 71.0787973229274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33588361)-sin(1.33587246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232758100456863-0.232768944203864)×R²
    abs(0.87585509-0.87580716)×1.08437470003331e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08437470003331e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08437470003331e-05×40589641000000     		ar = 5049.08203708283m²