Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83803 / 20953
↖ ↑ ↗
← N 76.541772°
E 50.171814°		 ← 71.07 m → N 76.541772°
E 50.174560°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.541132°
E 50.171814°		 ← 71.07 m →
5 053 m²		 N 76.541132°
E 50.174560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639369964599609 y=0.159862518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639369964599609 × 217)
    floor (0.639369964599609 × 131072)
    floor (83803.5)     		tx = 83803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159862518310547 × 217)
    floor (0.159862518310547 × 131072)
    floor (20953.5)     		ty = 20953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83803 / 20953 ti = "17/83803/20953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83803/20953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83803 ÷ 217
    83803 ÷ 131072     		x = 0.639366149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20953 ÷ 217
    20953 ÷ 131072     		y = 0.159858703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639366149902344 × 2 - 1) × π
    0.278732299804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87566335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159858703613281 × 2 - 1) × π
    0.680282592773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.13717079576096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87566335} λ = 0.87566335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13717079576096))-π/2
    2×atan(8.47542496829486)-π/2
    2×1.45335112745582-π/2
    2.90670225491164-1.57079632675     		φ = 1.33590593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87566335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.171814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33590593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.541772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83803 KachelY 20953 0.87566335 1.33590593 50.171814 76.541772
    Oben rechts KachelX + 1 83804 KachelY 20953 0.87571128 1.33590593 50.174560 76.541772
    Unten links KachelX 83803 KachelY + 1 20954 0.87566335 1.33589477 50.171814 76.541132
    Unten rechts KachelX + 1 83804 KachelY + 1 20954 0.87571128 1.33589477 50.174560 76.541132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33590593-1.33589477) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dl = 71.1003600007714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33590593-1.33589477) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dr = 71.1003600007714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87566335-0.87571128) × cos(1.33590593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232736393425256 × 6371000     		do = 71.0688575512582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87566335-0.87571128) × cos(1.33589477) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232747246955554 × 6371000     		du = 71.0721718073027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33590593)-sin(1.33589477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232736393425256-0.232747246955554)×R²
    abs(0.87571128-0.87566335)×1.0853530297783e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0853530297783e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0853530297783e-05×40589641000000     		ar = 5053.13917909824m²