Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83800 / 20929
↖ ↑ ↗
← N 76.557105°
E 50.163574°		 ← 71 m → N 76.557105°
E 50.166321°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.556466°
E 50.163574°		 ← 71.01 m →
5 044 m²		 N 76.556466°
E 50.166321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639347076416016 y=0.159679412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639347076416016 × 217)
    floor (0.639347076416016 × 131072)
    floor (83800.5)     		tx = 83800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159679412841797 × 217)
    floor (0.159679412841797 × 131072)
    floor (20929.5)     		ty = 20929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83800 / 20929 ti = "17/83800/20929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83800/20929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83800 ÷ 217
    83800 ÷ 131072     		x = 0.63934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20929 ÷ 217
    20929 ÷ 131072     		y = 0.159675598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63934326171875 × 2 - 1) × π
    0.2786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87551953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159675598144531 × 2 - 1) × π
    0.680648803710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.13832128135184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87551953} λ = 0.87551953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13832128135184))-π/2
    2×atan(8.48518143385785)-π/2
    2×1.45348493251809-π/2
    2.90696986503618-1.57079632675     		φ = 1.33617354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87551953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33617354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.557105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83800 KachelY 20929 0.87551953 1.33617354 50.163574 76.557105
    Oben rechts KachelX + 1 83801 KachelY 20929 0.87556747 1.33617354 50.166321 76.557105
    Unten links KachelX 83800 KachelY + 1 20930 0.87551953 1.33616239 50.163574 76.556466
    Unten rechts KachelX + 1 83801 KachelY + 1 20930 0.87556747 1.33616239 50.166321 76.556466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33617354-1.33616239) × R
    1.11500000001818e-05 × 6371000     		dl = 71.0366500011585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33617354-1.33616239) × R
    1.11500000001818e-05 × 6371000     		dr = 71.0366500011585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87551953-0.87556747) × cos(1.33617354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232476123703822 × 6371000     		do = 71.0041921145249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87551953-0.87556747) × cos(1.33616239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232486968202826 × 6371000     		du = 71.0075043036581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33617354)-sin(1.33616239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232476123703822-0.232486968202826)×R²
    abs(0.87556747-0.87551953)×1.08444990039869e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08444990039869e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08444990039869e-05×40589641000000     		ar = 5044.01758737944m²