Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 838 / 1606
↖ ↑ ↗
← S 70.959697°
W 32.695312°		 ← 6 376.54 m → S 70.959697°
W 32.519531°		 →
↑
6 367.30 m
↓
↑
6 367.30 m
↓
S 71.016960°
W 32.695312°		 ← 6 358.08 m →
40 542 609 m²		 S 71.016960°
W 32.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409423828125 y=0.784423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409423828125 × 211)
    floor (0.409423828125 × 2048)
    floor (838.5)     		tx = 838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784423828125 × 211)
    floor (0.784423828125 × 2048)
    floor (1606.5)     		ty = 1606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 838 / 1606 ti = "11/838/1606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/838/1606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 838 ÷ 211
    838 ÷ 2048     		x = 0.4091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1606 ÷ 211
    1606 ÷ 2048     		y = 0.7841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    -0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57064085} λ = -0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78555363704785))-π/2
    2×atan(0.167704188042023)-π/2
    2×0.166157987515839-π/2
    0.332315975031677-1.57079632675     		φ = -1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 838 KachelY 1606 -0.57064085 -1.23848035 -32.695312 -70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 839 KachelY 1606 -0.56757289 -1.23848035 -32.519531 -70.959697
    Unten links KachelX 838 KachelY + 1 1607 -0.57064085 -1.23947977 -32.695312 -71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 839 KachelY + 1 1607 -0.56757289 -1.23947977 -32.519531 -71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23848035--1.23947977) × R
    0.000999420000000084 × 6371000     		dl = 6367.30482000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23848035--1.23947977) × R
    0.000999420000000084 × 6371000     		dr = 6367.30482000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57064085--0.56757289) × cos(-1.23848035) × R
    0.00306795999999998 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 6376.54477511541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57064085--0.56757289) × cos(-1.23947977) × R
    0.00306795999999998 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 6358.07571015243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23848035)-sin(-1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.325288265675305)×R²
    abs(-0.56757289--0.57064085)×0.000944903833224264×R²
    0.00306795999999998×0.000944903833224264×6371000²
    0.00306795999999998×0.000944903833224264×40589641000000     		ar = 40542608.5729936m²