Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83799 / 20927
↖ ↑ ↗
← N 76.558382°
E 50.160828°		 ← 70.98 m → N 76.558382°
E 50.163574°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.557743°
E 50.160828°		 ← 70.99 m →
5 042 m²		 N 76.557743°
E 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639339447021484 y=0.159664154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639339447021484 × 217)
    floor (0.639339447021484 × 131072)
    floor (83799.5)     		tx = 83799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159664154052734 × 217)
    floor (0.159664154052734 × 131072)
    floor (20927.5)     		ty = 20927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83799 / 20927 ti = "17/83799/20927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83799/20927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83799 ÷ 217
    83799 ÷ 131072     		x = 0.639335632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20927 ÷ 217
    20927 ÷ 131072     		y = 0.159660339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639335632324219 × 2 - 1) × π
    0.278671264648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87547160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159660339355469 × 2 - 1) × π
    0.680679321289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.13841715515108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87547160} λ = 0.87547160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13841715515108))-π/2
    2×atan(8.48599497943738)-π/2
    2×1.45349607618321-π/2
    2.90699215236642-1.57079632675     		φ = 1.33619583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87547160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.160828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33619583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.558382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83799 KachelY 20927 0.87547160 1.33619583 50.160828 76.558382
    Oben rechts KachelX + 1 83800 KachelY 20927 0.87551953 1.33619583 50.163574 76.558382
    Unten links KachelX 83799 KachelY + 1 20928 0.87547160 1.33618468 50.160828 76.557743
    Unten rechts KachelX + 1 83800 KachelY + 1 20928 0.87551953 1.33618468 50.163574 76.557743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33619583-1.33618468) × R
    1.11500000001818e-05 × 6371000     		dl = 71.0366500011585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33619583-1.33618468) × R
    1.11500000001818e-05 × 6371000     		dr = 71.0366500011585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87547160-0.87551953) × cos(1.33619583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232454444345183 × 6371000     		do = 70.9827610078105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87547160-0.87551953) × cos(1.33618468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232465288901964 × 6371000     		du = 70.9860725236835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33619583)-sin(1.33618468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232454444345183-0.232465288901964)×R²
    abs(0.87551953-0.87547160)×1.08445567807425e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08445567807425e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08445567807425e-05×40589641000000     		ar = 5042.49516943456m²