Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83798 / 20906
↖ ↑ ↗
← N 76.571783°
E 50.158081°		 ← 70.93 m → N 76.571783°
E 50.160828°		 →
↑
70.97 m
↓
↑
70.97 m
↓
N 76.571144°
E 50.158081°		 ← 70.93 m →
5 034 m²		 N 76.571144°
E 50.160828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639331817626953 y=0.159503936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639331817626953 × 217)
    floor (0.639331817626953 × 131072)
    floor (83798.5)     		tx = 83798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159503936767578 × 217)
    floor (0.159503936767578 × 131072)
    floor (20906.5)     		ty = 20906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83798 / 20906 ti = "17/83798/20906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83798/20906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83798 ÷ 217
    83798 ÷ 131072     		x = 0.639328002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20906 ÷ 217
    20906 ÷ 131072     		y = 0.159500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639328002929688 × 2 - 1) × π
    0.278656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87542366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159500122070312 × 2 - 1) × π
    0.680999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13942383004311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87542366} λ = 0.87542366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13942383004311))-π/2
    2×atan(8.49454191878984)-π/2
    2×1.45361302195054-π/2
    2.90722604390108-1.57079632675     		φ = 1.33642972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87542366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.158081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33642972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.571783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83798 KachelY 20906 0.87542366 1.33642972 50.158081 76.571783
    Oben rechts KachelX + 1 83799 KachelY 20906 0.87547160 1.33642972 50.160828 76.571783
    Unten links KachelX 83798 KachelY + 1 20907 0.87542366 1.33641858 50.158081 76.571144
    Unten rechts KachelX + 1 83799 KachelY + 1 20907 0.87547160 1.33641858 50.160828 76.571144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33642972-1.33641858) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dl = 70.9729400001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33642972-1.33641858) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dr = 70.9729400001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87542366-0.87547160) × cos(1.33642972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232226954871156 × 6371000     		do = 70.928089539423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87542366-0.87547160) × cos(1.33641858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232237790307276 × 6371000     		du = 70.931398960518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33642972)-sin(1.33641858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232226954871156-0.232237790307276)×R²
    abs(0.87547160-0.87542366)×1.08354361194885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08354361194885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08354361194885e-05×40589641000000     		ar = 5034.09248289027m²