Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83797 / 20903
↖ ↑ ↗
← N 76.573696°
E 50.155334°		 ← 70.92 m → N 76.573696°
E 50.158081°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.573058°
E 50.155334°		 ← 70.92 m →
5 029 m²		 N 76.573058°
E 50.158081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639324188232422 y=0.159481048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639324188232422 × 217)
    floor (0.639324188232422 × 131072)
    floor (83797.5)     		tx = 83797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159481048583984 × 217)
    floor (0.159481048583984 × 131072)
    floor (20903.5)     		ty = 20903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83797 / 20903 ti = "17/83797/20903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83797/20903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83797 ÷ 217
    83797 ÷ 131072     		x = 0.639320373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20903 ÷ 217
    20903 ÷ 131072     		y = 0.159477233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639320373535156 × 2 - 1) × π
    0.278640747070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.87537572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159477233886719 × 2 - 1) × π
    0.681045532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.13956764074197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87537572} λ = 0.87537572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13956764074197))-π/2
    2×atan(8.49576361264389)-π/2
    2×1.45362971914325-π/2
    2.90725943828651-1.57079632675     		φ = 1.33646311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87537572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.155334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33646311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.573696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83797 KachelY 20903 0.87537572 1.33646311 50.155334 76.573696
    Oben rechts KachelX + 1 83798 KachelY 20903 0.87542366 1.33646311 50.158081 76.573696
    Unten links KachelX 83797 KachelY + 1 20904 0.87537572 1.33645198 50.155334 76.573058
    Unten rechts KachelX + 1 83798 KachelY + 1 20904 0.87542366 1.33645198 50.158081 76.573058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33646311-1.33645198) × R
    1.11299999998593e-05 × 6371000     		dl = 70.9092299991036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33646311-1.33645198) × R
    1.11299999998593e-05 × 6371000     		dr = 70.9092299991036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87537572-0.87542366) × cos(1.33646311) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232194477569969 × 6371000     		do = 70.918170135839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87537572-0.87542366) × cos(1.33645198) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232205303365797 × 6371000     		du = 70.9214766125407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33646311)-sin(1.33645198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232194477569969-0.232205303365797)×R²
    abs(0.87542366-0.87537572)×1.08257958275626e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08257958275626e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08257958275626e-05×40589641000000     		ar = 5028.87006708005m²