Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83794 / 20971
↖ ↑ ↗
← N 76.530260°
E 50.147095°		 ← 71.14 m → N 76.530260°
E 50.149841°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.529621°
E 50.147095°		 ← 71.15 m →
5 058 m²		 N 76.529621°
E 50.149841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639301300048828 y=0.159999847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639301300048828 × 217)
    floor (0.639301300048828 × 131072)
    floor (83794.5)     		tx = 83794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159999847412109 × 217)
    floor (0.159999847412109 × 131072)
    floor (20971.5)     		ty = 20971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83794 / 20971 ti = "17/83794/20971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83794/20971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83794 ÷ 217
    83794 ÷ 131072     		x = 0.639297485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20971 ÷ 217
    20971 ÷ 131072     		y = 0.159996032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639297485351562 × 2 - 1) × π
    0.278594970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87523191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159996032714844 × 2 - 1) × π
    0.680007934570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1363079315678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87523191} λ = 0.87523191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1363079315678))-π/2
    2×atan(8.46811498178424)-π/2
    2×1.45325067536325-π/2
    2.9065013507265-1.57079632675     		φ = 1.33570502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87523191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.147095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33570502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.530260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83794 KachelY 20971 0.87523191 1.33570502 50.147095 76.530260
    Oben rechts KachelX + 1 83795 KachelY 20971 0.87527985 1.33570502 50.149841 76.530260
    Unten links KachelX 83794 KachelY + 1 20972 0.87523191 1.33569386 50.147095 76.529621
    Unten rechts KachelX + 1 83795 KachelY + 1 20972 0.87527985 1.33569386 50.149841 76.529621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33570502-1.33569386) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dl = 71.1003600007714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33570502-1.33569386) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dr = 71.1003600007714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87523191-0.87527985) × cos(1.33570502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232931781709194 × 6371000     		do = 71.1433617980023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87523191-0.87527985) × cos(1.33569386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232942634717429 × 6371000     		du = 71.1466765860738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33570502)-sin(1.33569386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232931781709194-0.232942634717429)×R²
    abs(0.87527985-0.87523191)×1.08530082353619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08530082353619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08530082353619e-05×40589641000000     		ar = 5058.43647694671m²