Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83794 / 20905
↖ ↑ ↗
← N 76.572420°
E 50.147095°		 ← 70.92 m → N 76.572420°
E 50.149841°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.571783°
E 50.147095°		 ← 70.93 m →
5 029 m²		 N 76.571783°
E 50.149841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639301300048828 y=0.159496307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639301300048828 × 217)
    floor (0.639301300048828 × 131072)
    floor (83794.5)     		tx = 83794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159496307373047 × 217)
    floor (0.159496307373047 × 131072)
    floor (20905.5)     		ty = 20905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83794 / 20905 ti = "17/83794/20905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83794/20905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83794 ÷ 217
    83794 ÷ 131072     		x = 0.639297485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20905 ÷ 217
    20905 ÷ 131072     		y = 0.159492492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639297485351562 × 2 - 1) × π
    0.278594970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87523191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159492492675781 × 2 - 1) × π
    0.681015014648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.13947176694273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87523191} λ = 0.87523191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13947176694273))-π/2
    2×atan(8.49494913055327)-π/2
    2×1.45361858794096-π/2
    2.90723717588191-1.57079632675     		φ = 1.33644085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87523191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.147095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33644085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.572420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83794 KachelY 20905 0.87523191 1.33644085 50.147095 76.572420
    Oben rechts KachelX + 1 83795 KachelY 20905 0.87527985 1.33644085 50.149841 76.572420
    Unten links KachelX 83794 KachelY + 1 20906 0.87523191 1.33642972 50.147095 76.571783
    Unten rechts KachelX + 1 83795 KachelY + 1 20906 0.87527985 1.33642972 50.149841 76.571783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33644085-1.33642972) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dl = 70.9092300005183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33644085-1.33642972) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dr = 70.9092300005183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87523191-0.87527985) × cos(1.33644085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23221612913286 × 6371000     		do = 70.9247830802927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87523191-0.87527985) × cos(1.33642972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232226954871156 × 6371000     		du = 70.928089539423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33644085)-sin(1.33642972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23221612913286-0.232226954871156)×R²
    abs(0.87527985-0.87523191)×1.08257382966936e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08257382966936e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08257382966936e-05×40589641000000     		ar = 5029.33898545915m²