Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8379 / 24790
↖ ↑ ↗
← N 40.086477°
W133.972778°		 ← 467.30 m → N 40.086477°
W133.967285°		 →
↑
467.31 m
↓
↑
467.31 m
↓
N 40.082274°
W133.972778°		 ← 467.33 m →
218 381 m²		 N 40.082274°
W133.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127861022949219 y=0.378273010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127861022949219 × 216)
    floor (0.127861022949219 × 65536)
    floor (8379.5)     		tx = 8379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378273010253906 × 216)
    floor (0.378273010253906 × 65536)
    floor (24790.5)     		ty = 24790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8379 / 24790 ti = "16/8379/24790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8379/24790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8379 ÷ 216
    8379 ÷ 65536     		x = 0.127853393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24790 ÷ 216
    24790 ÷ 65536     		y = 0.378265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127853393554688 × 2 - 1) × π
    -0.744293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33826609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378265380859375 × 2 - 1) × π
    0.24346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.764881170337616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33826609} λ = -2.33826609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764881170337616))-π/2
    2×atan(2.14873902555104)-π/2
    2×1.13521867054054-π/2
    2.27043734108108-1.57079632675     		φ = 0.69964101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33826609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.972778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69964101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.086477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8379 KachelY 24790 -2.33826609 0.69964101 -133.972778 40.086477
    Oben rechts KachelX + 1 8380 KachelY 24790 -2.33817022 0.69964101 -133.967285 40.086477
    Unten links KachelX 8379 KachelY + 1 24791 -2.33826609 0.69956766 -133.972778 40.082274
    Unten rechts KachelX + 1 8380 KachelY + 1 24791 -2.33817022 0.69956766 -133.967285 40.082274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69964101-0.69956766) × R
    7.3349999999972e-05 × 6371000     		dl = 467.312849999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69964101-0.69956766) × R
    7.3349999999972e-05 × 6371000     		dr = 467.312849999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33826609--2.33817022) × cos(0.69964101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765073405702996 × 6371000     		do = 467.297479355628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33826609--2.33817022) × cos(0.69956766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765120636869375 × 6371000     		du = 467.326327574415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69964101)-sin(0.69956766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765073405702996-0.765120636869375)×R²
    abs(-2.33817022--2.33826609)×4.72311663789471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72311663789471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72311663789471e-05×40589641000000     		ar = 218380.857545181m²