Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83789 / 20973
↖ ↑ ↗
← N 76.528981°
E 50.133362°		 ← 71.15 m → N 76.528981°
E 50.136109°		 →
↑
71.16 m
↓
↑
71.16 m
↓
N 76.528341°
E 50.133362°		 ← 71.15 m →
5 063 m²		 N 76.528341°
E 50.136109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639263153076172 y=0.160015106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639263153076172 × 217)
    floor (0.639263153076172 × 131072)
    floor (83789.5)     		tx = 83789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160015106201172 × 217)
    floor (0.160015106201172 × 131072)
    floor (20973.5)     		ty = 20973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83789 / 20973 ti = "17/83789/20973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83789/20973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83789 ÷ 217
    83789 ÷ 131072     		x = 0.639259338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20973 ÷ 217
    20973 ÷ 131072     		y = 0.160011291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639259338378906 × 2 - 1) × π
    0.278518676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87499223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160011291503906 × 2 - 1) × π
    0.679977416992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.13621205776856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87499223} λ = 0.87499223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13621205776856))-π/2
    2×atan(8.46730315034584)-π/2
    2×1.45323950881544-π/2
    2.90647901763088-1.57079632675     		φ = 1.33568269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87499223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.133362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33568269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.528981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83789 KachelY 20973 0.87499223 1.33568269 50.133362 76.528981
    Oben rechts KachelX + 1 83790 KachelY 20973 0.87504017 1.33568269 50.136109 76.528981
    Unten links KachelX 83789 KachelY + 1 20974 0.87499223 1.33567152 50.133362 76.528341
    Unten rechts KachelX + 1 83790 KachelY + 1 20974 0.87504017 1.33567152 50.136109 76.528341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33568269-1.33567152) × R
    1.11700000000603e-05 × 6371000     		dl = 71.1640700003842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33568269-1.33567152) × R
    1.11700000000603e-05 × 6371000     		dr = 71.1640700003842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87499223-0.87504017) × cos(1.33568269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232953497421531 × 6371000     		do = 71.1499943355125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87499223-0.87504017) × cos(1.33567152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232964360096568 × 6371000     		du = 71.153312076074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33568269)-sin(1.33567152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232953497421531-0.232964360096568)×R²
    abs(0.87504017-0.87499223)×1.08626750367491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08626750367491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08626750367491e-05×40589641000000     		ar = 5063.44122940527m²