Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83789 / 20965
↖ ↑ ↗
← N 76.534099°
E 50.133362°		 ← 71.12 m → N 76.534099°
E 50.136109°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.533459°
E 50.133362°		 ← 71.13 m →
5 057 m²		 N 76.533459°
E 50.136109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639263153076172 y=0.159954071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639263153076172 × 217)
    floor (0.639263153076172 × 131072)
    floor (83789.5)     		tx = 83789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159954071044922 × 217)
    floor (0.159954071044922 × 131072)
    floor (20965.5)     		ty = 20965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83789 / 20965 ti = "17/83789/20965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83789/20965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83789 ÷ 217
    83789 ÷ 131072     		x = 0.639259338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20965 ÷ 217
    20965 ÷ 131072     		y = 0.159950256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639259338378906 × 2 - 1) × π
    0.278518676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87499223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159950256347656 × 2 - 1) × π
    0.680099487304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.13659555296552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87499223} λ = 0.87499223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13659555296552))-π/2
    2×atan(8.47055094315187)-π/2
    2×1.45328416876055-π/2
    2.90656833752111-1.57079632675     		φ = 1.33577201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87499223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.133362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33577201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.534099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83789 KachelY 20965 0.87499223 1.33577201 50.133362 76.534099
    Oben rechts KachelX + 1 83790 KachelY 20965 0.87504017 1.33577201 50.136109 76.534099
    Unten links KachelX 83789 KachelY + 1 20966 0.87499223 1.33576085 50.133362 76.533459
    Unten rechts KachelX + 1 83790 KachelY + 1 20966 0.87504017 1.33576085 50.136109 76.533459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33577201-1.33576085) × R
    1.1159999999899e-05 × 6371000     		dl = 71.1003599993567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33577201-1.33576085) × R
    1.1159999999899e-05 × 6371000     		dr = 71.1003599993567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87499223-0.87504017) × cos(1.33577201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232866633875346 × 6371000     		do = 71.12346397264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87499223-0.87504017) × cos(1.33576085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232877487057703 × 6371000     		du = 71.1267788138926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33577201)-sin(1.33576085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232866633875346-0.232877487057703)×R²
    abs(0.87504017-0.87499223)×1.08531823566071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08531823566071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08531823566071e-05×40589641000000     		ar = 5057.02173626862m²