Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83787 / 20941
↖ ↑ ↗
← N 76.549440°
E 50.127868°		 ← 71.04 m → N 76.549440°
E 50.130615°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.548801°
E 50.127868°		 ← 71.05 m →
5 047 m²		 N 76.548801°
E 50.130615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639247894287109 y=0.159770965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639247894287109 × 217)
    floor (0.639247894287109 × 131072)
    floor (83787.5)     		tx = 83787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159770965576172 × 217)
    floor (0.159770965576172 × 131072)
    floor (20941.5)     		ty = 20941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83787 / 20941 ti = "17/83787/20941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83787/20941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83787 ÷ 217
    83787 ÷ 131072     		x = 0.639244079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20941 ÷ 217
    20941 ÷ 131072     		y = 0.159767150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639244079589844 × 2 - 1) × π
    0.278488159179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87489635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159767150878906 × 2 - 1) × π
    0.680465698242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.1377460385564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87489635} λ = 0.87489635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1377460385564))-π/2
    2×atan(8.48030179799226)-π/2
    2×1.45341804870175-π/2
    2.90683609740349-1.57079632675     		φ = 1.33603977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87489635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.127868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33603977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.549440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83787 KachelY 20941 0.87489635 1.33603977 50.127868 76.549440
    Oben rechts KachelX + 1 83788 KachelY 20941 0.87494429 1.33603977 50.130615 76.549440
    Unten links KachelX 83787 KachelY + 1 20942 0.87489635 1.33602862 50.127868 76.548801
    Unten rechts KachelX + 1 83788 KachelY + 1 20942 0.87494429 1.33602862 50.130615 76.548801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33603977-1.33602862) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dl = 71.0366499997439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33603977-1.33602862) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dr = 71.0366499997439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87489635-0.87494429) × cos(1.33603977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23260622660682 × 6371000     		do = 71.043928889949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87489635-0.87494429) × cos(1.33602862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232617070758972 × 6371000     		du = 71.0472409731448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33603977)-sin(1.33602862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23260622660682-0.232617070758972)×R²
    abs(0.87494429-0.87489635)×1.08441521522451e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08441521522451e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08441521522451e-05×40589641000000     		ar = 5046.84035092127m²