Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83780 / 20964
↖ ↑ ↗
← N 76.534738°
E 50.108643°		 ← 71.11 m → N 76.534738°
E 50.111389°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.534099°
E 50.108643°		 ← 71.11 m →
5 056 m²		 N 76.534099°
E 50.111389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639194488525391 y=0.159946441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639194488525391 × 217)
    floor (0.639194488525391 × 131072)
    floor (83780.5)     		tx = 83780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159946441650391 × 217)
    floor (0.159946441650391 × 131072)
    floor (20964.5)     		ty = 20964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83780 / 20964 ti = "17/83780/20964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83780/20964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83780 ÷ 217
    83780 ÷ 131072     		x = 0.639190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20964 ÷ 217
    20964 ÷ 131072     		y = 0.159942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639190673828125 × 2 - 1) × π
    0.27838134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87456080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159942626953125 × 2 - 1) × π
    0.68011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13664348986514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87456080} λ = 0.87456080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13664348986514))-π/2
    2×atan(8.47095700483475)-π/2
    2×1.45328975008266-π/2
    2.90657950016533-1.57079632675     		φ = 1.33578317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87456080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.108643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33578317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.534738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83780 KachelY 20964 0.87456080 1.33578317 50.108643 76.534738
    Oben rechts KachelX + 1 83781 KachelY 20964 0.87460873 1.33578317 50.111389 76.534738
    Unten links KachelX 83780 KachelY + 1 20965 0.87456080 1.33577201 50.108643 76.534099
    Unten rechts KachelX + 1 83781 KachelY + 1 20965 0.87460873 1.33577201 50.111389 76.534099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33578317-1.33577201) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dl = 71.1003600007714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33578317-1.33577201) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dr = 71.1003600007714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87456080-0.87460873) × cos(1.33578317) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232855780663987 × 6371000     		do = 71.1053138806685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87456080-0.87460873) × cos(1.33577201) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232866633875346 × 6371000     		du = 71.1086280393212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33578317)-sin(1.33577201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232855780663987-0.232866633875346)×R²
    abs(0.87460873-0.87456080)×1.08532113593518e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08532113593518e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08532113593518e-05×40589641000000     		ar = 5055.73123372974m²