Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8378 / 25415
↖ ↑ ↗
← S 69.926530°
W 87.956543°		 ← 419.28 m → S 69.926530°
W 87.945557°		 →
↑
419.21 m
↓
↑
419.21 m
↓
S 69.930300°
W 87.956543°		 ← 419.20 m →
175 749 m²		 S 69.930300°
W 87.945557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255691528320312 y=0.775619506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255691528320312 × 215)
    floor (0.255691528320312 × 32768)
    floor (8378.5)     		tx = 8378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775619506835938 × 215)
    floor (0.775619506835938 × 32768)
    floor (25415.5)     		ty = 25415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8378 / 25415 ti = "15/8378/25415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8378/25415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8378 ÷ 215
    8378 ÷ 32768     		x = 0.25567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25415 ÷ 215
    25415 ÷ 32768     		y = 0.775604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.4886474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53513127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.55120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73167256187491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53513127} λ = -1.53513127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73167256187491))-π/2
    2×atan(0.176988138659863)-π/2
    2×0.175174074220019-π/2
    0.350348148440037-1.57079632675     		φ = -1.22044818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53513127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22044818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.926530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8378 KachelY 25415 -1.53513127 -1.22044818 -87.956543 -69.926530
    Oben rechts KachelX + 1 8379 KachelY 25415 -1.53493953 -1.22044818 -87.945557 -69.926530
    Unten links KachelX 8378 KachelY + 1 25416 -1.53513127 -1.22051398 -87.956543 -69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 8379 KachelY + 1 25416 -1.53493953 -1.22051398 -87.945557 -69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22044818--1.22051398) × R
    6.58000000000047e-05 × 6371000     		dl = 419.21180000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22044818--1.22051398) × R
    6.58000000000047e-05 × 6371000     		dr = 419.21180000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53513127--1.53493953) × cos(-1.22044818) × R
    0.000191739999999996 × 0.343224826267368 × 6371000     		do = 419.275052488957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53513127--1.53493953) × cos(-1.22051398) × R
    0.000191739999999996 × 0.343163022658756 × 6371000     		du = 419.199554712393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22044818)-sin(-1.22051398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343224826267368-0.343163022658756)×R²
    abs(-1.53493953--1.53513127)×6.18036086117435e-05×R²
    0.000191739999999996×6.18036086117435e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.18036086117435e-05×40589641000000     		ar = 175749.224733421m²