Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83776 / 20822
↖ ↑ ↗
← N 76.625256°
E 50.097656°		 ← 70.65 m → N 76.625256°
E 50.100403°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.624620°
E 50.097656°		 ← 70.65 m →
4 992 m²		 N 76.624620°
E 50.100403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639163970947266 y=0.158863067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639163970947266 × 217)
    floor (0.639163970947266 × 131072)
    floor (83776.5)     		tx = 83776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158863067626953 × 217)
    floor (0.158863067626953 × 131072)
    floor (20822.5)     		ty = 20822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83776 / 20822 ti = "17/83776/20822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83776/20822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83776 ÷ 217
    83776 ÷ 131072     		x = 0.63916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20822 ÷ 217
    20822 ÷ 131072     		y = 0.158859252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63916015625 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87436905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158859252929688 × 2 - 1) × π
    0.682281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14345052961119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87436905} λ = 0.87436905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14345052961119))-π/2
    2×atan(8.52881584615892)-π/2
    2×1.45407966155708-π/2
    2.90815932311415-1.57079632675     		φ = 1.33736300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87436905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33736300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.625256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83776 KachelY 20822 0.87436905 1.33736300 50.097656 76.625256
    Oben rechts KachelX + 1 83777 KachelY 20822 0.87441699 1.33736300 50.100403 76.625256
    Unten links KachelX 83776 KachelY + 1 20823 0.87436905 1.33735191 50.097656 76.624620
    Unten rechts KachelX + 1 83777 KachelY + 1 20823 0.87441699 1.33735191 50.100403 76.624620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33736300-1.33735191) × R
    1.10900000001024e-05 × 6371000     		dl = 70.6543900006524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33736300-1.33735191) × R
    1.10900000001024e-05 × 6371000     		dr = 70.6543900006524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87436905-0.87441699) × cos(1.33736300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231319088223135 × 6371000     		do = 70.6508036966299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87436905-0.87441699) × cos(1.33735191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231329877425226 × 6371000     		du = 70.6540989966627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33736300)-sin(1.33735191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231319088223135-0.231329877425226)×R²
    abs(0.87441699-0.87436905)×1.0789202091438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0789202091438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0789202091438e-05×40589641000000     		ar = 4991.90585187883m²