Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83774 / 20826
↖ ↑ ↗
← N 76.622714°
E 50.092163°		 ← 70.65 m → N 76.622714°
E 50.094910°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.622079°
E 50.092163°		 ← 70.65 m →
4 992 m²		 N 76.622079°
E 50.094910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639148712158203 y=0.158893585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639148712158203 × 217)
    floor (0.639148712158203 × 131072)
    floor (83774.5)     		tx = 83774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158893585205078 × 217)
    floor (0.158893585205078 × 131072)
    floor (20826.5)     		ty = 20826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83774 / 20826 ti = "17/83774/20826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83774/20826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83774 ÷ 217
    83774 ÷ 131072     		x = 0.639144897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20826 ÷ 217
    20826 ÷ 131072     		y = 0.158889770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639144897460938 × 2 - 1) × π
    0.278289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87427318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158889770507812 × 2 - 1) × π
    0.682220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14325878201271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87427318} λ = 0.87427318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14325878201271))-π/2
    2×atan(8.5271806229826)-π/2
    2×1.45405748204822-π/2
    2.90811496409644-1.57079632675     		φ = 1.33731864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87427318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.092163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33731864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.622714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83774 KachelY 20826 0.87427318 1.33731864 50.092163 76.622714
    Oben rechts KachelX + 1 83775 KachelY 20826 0.87432111 1.33731864 50.094910 76.622714
    Unten links KachelX 83774 KachelY + 1 20827 0.87427318 1.33730755 50.092163 76.622079
    Unten rechts KachelX + 1 83775 KachelY + 1 20827 0.87432111 1.33730755 50.094910 76.622079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33731864-1.33730755) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dl = 70.6543899992378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33731864-1.33730755) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dr = 70.6543899992378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87427318-0.87432111) × cos(1.33731864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23136224486079 × 6371000     		do = 70.6492447560912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87427318-0.87432111) × cos(1.33730755) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23137303394907 × 6371000     		du = 70.6525393339902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33731864)-sin(1.33730755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23136224486079-0.23137303394907)×R²
    abs(0.87432111-0.87427318)×1.07890882800055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07890882800055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07890882800055e-05×40589641000000     		ar = 4991.7956803892m²